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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 So 27.05.2007 | | Autor: | zaza |
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1.
| Aufgabe 1 | a) Bestimmen Sie alle Vielfachen von 30 mit genau 30 Teilern. Beschreiben Sie, wie man alle Zahlen, die diese Bedingungen erfüllen, finden kann.
b) Bestimmen Sie alle Vielfachen von 12 mit genau zwei verschiedenen Primzahlen in der Primfaktorzerlegung* und genau 30 Teilern. Erläutern Sie ebenfalls Ihr Vorgehen.
(* Primzahlen in der Primfaktorzerlegung bezeichnet man auch kürzer als Primteiler) |
7.
| Aufgabe 2 | Begründen Sie:
Für alle [mm] $a,b,n\in\IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\ggT(n*a, [/mm] n*b) = n* [mm] \ggT(a,b)$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die anderen Aufgaben konnte ich lösen doch hier habe ich leider auch keine Lösungsansätze... bitte um Hilfe
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zu a):
Die Zahl 30 = 2*3*5
Die 30 Teiler - das sind 30 = (2)*(3)*(5)
Die fettgedruckten Zahlen sind jeweils die Exponenten für die Primzahlen, die die Aufgabe erfüllen.
Also z.B. [mm] 2^{2}*3^{3}*5^{5}=337500
[/mm]
oder [mm] 2^{5}*3^{3}*5^{2}=21600
[/mm]
Da man 2, 3 und 5 in 3!=6 unterschiedliche Reihenfolgen bringen kann, ergeben sich dann sechs Möglichkeiten.
zu b):
12=2*2*3
Die beiden Primzahlen können nur 2 (mindestens zweifach) und 3 sein, da sich sonst kein Vielfaches von 12 ergibt.
Die gesuchten Zahlen müssen die Form haben: [mm] 2^{a}*3^{b}
[/mm]
wobei [mm] a\ge2 [/mm] und [mm] b\ge1 [/mm]
Damit es genau 30 Teiler gibt, muss a*b=30 sein.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:21 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo rabilein1!
zwei kleine Fehler:
> zu a):
> Die Zahl 30 = 2*3*5
>
> Die 30 Teiler - das sind 30 = (2)*(3)*(5)
> Die fettgedruckten Zahlen sind jeweils die Exponenten für
> die Primzahlen, die die Aufgabe erfüllen.
>
> Also z.B. [mm]2^{2}*3^{3}*5^{5}=337500[/mm]
> oder [mm]2^{5}*3^{3}*5^{2}=21600[/mm]
>
> Da man 2, 3 und 5 in 3!=6 unterschiedliche Reihenfolgen
> bringen kann, ergeben sich dann sechs Möglichkeiten.
Die Zahl [mm] $2^{2}*3^{3}*5^{5}$ [/mm] hat doch (siehe Deine eigene Frage und Antwort  ) 3*4*6=72 Teiler.
Außerdem stellt sich noch die Frage, warum die gesuchten Zahlen nur die Primteiler 2, 3 und 5 haben können (diese Behauptung ist mMn richtig, muss aber noch begründet werden).
> zu b):
> 12=2*2*3
>
> Die beiden Primzahlen können nur 2 (mindestens zweifach)
> und 3 sein, da sich sonst kein Vielfaches von 12 ergibt.
>
> Die gesuchten Zahlen müssen die Form haben: [mm]2^{a}*3^{b}[/mm]
> wobei [mm]a\ge2[/mm] und [mm]b\ge1[/mm]
>
> Damit es genau 30 Teiler gibt, muss a*b=30 sein.
Hier der gleiche Fehler: [mm] $2^a*3^b$ [/mm] hat (a+1)(b+1) Teiler.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Mo 28.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Meines Erachtens darf man hier nicht EINS addieren.
WEIL: bei meiner Aufgabe war auch [mm] x^{0}=1 [/mm] möglich. (d.h. ein Primfaktor kommt gar nicht vor)
Bei DIESER Aufgabe hier müssen aber ALLE Primfaktoren vorhanden sein. Es darf also keiner mit "Hoch Null" gebildet werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo rabilein1,
> Meines Erachtens darf man hier nicht EINS addieren.
>
> WEIL: bei meiner Aufgabe war auch [mm]x^{0}=1[/mm] möglich. (d.h.
> ein Primfaktor kommt gar nicht vor)
>
> Bei DIESER Aufgabe hier müssen aber ALLE Primfaktoren
> vorhanden sein. Es darf also keiner mit "Hoch Null"
> gebildet werden.
Du verwechselst hier die Konstruktion der gesuchten Zahlen mit der Berechnung der Teileranzahl.
Die Anzahl der Teiler bleibt doch gleich, selbst wenn ich fordere, dass die Zahl durch 30 teilbar sein soll.
Es stimmt, dass die gesuchten Zahlen von der Form [mm] $2^a *3^b *5^c$ [/mm] sein müssen mit [mm] $a,b,c\ge [/mm] 1$. Die Anzahl der Teiler einer solchen Zahl ist aber immer noch $(a+1)(b+1)(c+1)=30$.
Und es hat Dich auch nicht überzeugt, dass $ [mm] 2^{2}\cdot{}3^{3}\cdot{}5^{5} [/mm] $ 72 Teiler hat?
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Mo 28.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Du hast bisher nur geschrieben, wie es nicht richtig ist.
Was soll denn da deiner Meinung nach richtigerweise rauskommen?
(Aber eventuell helfen dem Fragesteller ja auch die bisherigen Antworten)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo zaza!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1.
> a) Bestimmen Sie alle Vielfachen von 30 mit genau 30
> Teilern. Beschreiben Sie, wie man alle
> Zahlen, die diese Bedingungen erfüllen, finden kann.
Ich konstruiere schrittweise eine solche gesuchte Zahl und zähle danach die Möglichkeiten.
Eine der gesuchten Zahlen sei $z$.
Da $z$ ein Vielfaches von 30 ist, muss $z$ mindestens die drei Primteiler 2, 3 und 5 haben:
[mm] $z=2^a *3^b *5^c *p_4^{\alpha_4}*p_5^{\alpha_5}*\ldots*p_m^{\alpha_m}$ [/mm] wobei [mm] $(p_i)$=Folge [/mm] der Primzahlen und [mm] $a,b,c\ge [/mm] 1$.
Für die Anzahl der Teiler dieser Zahl gilt:
[mm] $(a+1)(b+1)(c+1)(\alpha_4+1)(\alpha_5+1)*\ldots*(\alpha_m+1)\stackrel{!}{=}30=2*3*5$
[/mm]
Da [mm] $a,b,c\ge [/mm] 1$, ist [mm] $\alpha_4=\alpha_4=\ldots=\alpha_m=0$ [/mm] (sonst stehen links mehr als 3 von 1 verschiedene Faktoren, während rechts der Gleichung genau 3 stehen.
Damit haben wir:
$(a+1)(b+1)(c+1)=2*3*5$
Es gibt nun 3!=6 Möglichkeiten, die drei Zahlen 2, 3, 5 den drei Faktoren (a+1), (b+1), (c+1) zuzuordnen, die 6 Zahlen lauten daher:
$a=1, b=2, c=4, [mm] z=2^1*3^2*5^4=11250$
[/mm]
$a=1, b=4, c=2, [mm] z=2^1*3^4*5^2=4050$
[/mm]
$a=2, b=1, c=4, [mm] z=2^2*3^1*5^4=7500$
[/mm]
$a=2, b=4, c=1, [mm] z=2^2*3^4*5^1=1620$
[/mm]
$a=4, b=2, c=1, [mm] z=2^4*3^2*5^1=720$
[/mm]
$a=4, b=1, c=2, [mm] z=2^4*3^1*5^2=1200$
[/mm]
> b) Bestimmen Sie alle Vielfachen von 12 mit genau zwei
> verschiedenen Primzahlen in der
> Primfaktorzerlegung* und genau 30 Teilern. Erläutern Sie
> ebenfalls Ihr Vorgehen.
> (* Primzahlen in der Primfaktorzerlegung bezeichnet man
> auch kürzer als Primteiler)
Alle Vielfache von 12 haben mindestens 2 und 3 als Primteiler. Da genau zwei verschiedene Primteiler gefordert sind, sind dies genau 2 und 3.
[mm] $12=2^a*3^b$ [/mm] mit [mm] $a\ge [/mm] 2$ und [mm] $b\ge [/mm] 1$
Für die Anzahl der Teiler gilt wieder:
[mm] $(a+1)(b+1)\stackrel{1}{=}30=2*3*5$
[/mm]
Nun müssen die drei Primzahlen 2, 3, 5 den zwei Faktoren (a+1) und (b+1) zugeordnet werden.
Dafür gibt es 5 Möglichkeiten (jeder der drei Zahlen kann (a+1) oder (b+1) zu geordnet werden, also 8 Möglichkeiten, wobei die Möglichkeiten, dass alle drei Zahlen ausschließlich (a+1) oder (b+1) zugeordnet werden, wegfallen; außerdem fällt die Möglichkeit weg, dass $a+1=2$, denn sonst [mm] $a=1\not\ge [/mm] 2$).
Die fünf Zahlen lauten also:
(Nicht möglich: $a=1, b=3*5-1, [mm] z=2^1 *3^{14}$)
[/mm]
$a=2, b=2*5-1, [mm] z=2^2 *3^{9}$
[/mm]
$a=4, b=2*3-1, [mm] z=2^4 *3^{5}$
[/mm]
$a=3*5-1, b=1, [mm] z=2^{14}* 3^1$
[/mm]
$a=2*5-1, b=2, [mm] z=2^{9}* 3^2$
[/mm]
$a=2*3-1, b=4, [mm] z=2^{5}* 3^4$
[/mm]
> 7.
> Begründen Sie:
> Für alle a,b,nÎ gilt:
> ggT(n*a, n*b) = n* ggT(a,b)
Wie habt Ihr denn den ggT definiert und welche Rechengesetze für den ggT kennt Ihr schon?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Mo 28.05.2007 | | Autor: | zaza |
ich hab leider keine Ahnung was in der lezten Vorlesung besprochen wurde da ich krank war.
Ich muss leider trotzdem die Aufgabe mogen abgeben hab aber leider keine Ahnung wie ich sie lösen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Mo 28.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Alle Vielfache von 12 haben mindestens 2 und 3 als
> Primteiler. Da genau zwei verschiedene Primteiler gefordert
> sind, sind dies genau 2 und 3.
>
> [mm]12=2^a*3^b[/mm] mit [mm]a,b\ge 1[/mm]
Muss da nicht [mm] a\ge [/mm] 2 sein? Wenn nur ein einziges a vorkommt, dann ergibt sich doch kein Vielfaches von 12. Oder mache ich da einen Denkfehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo rabilein1,
> > Alle Vielfache von 12 haben mindestens 2 und 3 als
> > Primteiler. Da genau zwei verschiedene Primteiler gefordert
> > sind, sind dies genau 2 und 3.
> >
> > [mm]12=2^a*3^b[/mm] mit [mm]a,b\ge 1[/mm]
>
> Muss da nicht [mm]a\ge[/mm] 2 sein? Wenn nur ein einziges a
> vorkommt, dann ergibt sich doch kein Vielfaches von 12.
Hast Recht, danke für den Hinweis, werde ich gleich korrigieren.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:31 Mo 28.05.2007 | | Autor: | zaza |
könnt ihr mir sagen wie ich an Aufgabe 7 ran gehen soll das wär lieb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo zaza,
> könnt ihr mir sagen wie ich an Aufgabe 7 ran gehen soll das
> wär lieb
angesichts zweier komplett für Dich gelöster Aufgaben, ohne eigene Beteiligung und ohne ein einziges Feedback von Dir ist das jetzt schon recht dreist.
Wie sehen Deine Lösungsansätze aus, was hast Du bisher selbst über den ggT herausgefunden, was sind Deine konkreten Fragen?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Mo 28.05.2007 | | Autor: | zaza |
hey marc es tut mir leid das es "recht dreist" wirkt
mein Problem war ja, dass ich an der Vorlesung nicht teil genommen habe. es waren 10 Aufgaben von denen ich fast alle bis auf die 3 nicht lösen konnte und auch absolut keine Ahnung für einen Lösungsansatz habe.
Ich danke dir für deine Unterstützung und hoffe du denkst nicht schlecht von mir.
MfG deine zaza 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Mo 28.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Denke dir doch einfach mal Zahlen für a, b und n aus.
a und b zerlegst du in Primfaktoren und bestimmst den ggT. Und dann schaust du, was mit dem n passiert - einmal links und dann rechts in der Gleichung. Dann siehst du, warum beide Seiten gleich sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Di 29.05.2007 | | Autor: | zaza |
hey rabilein1
ich habs gerad abgegeben war nicht schlimm das ich eine nicht hatte
vielen Dank auch an dich .-)
ihr habt mir echt geholfen danke
MfG zaza
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