Element des Abschlusses < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei (X,T) ein top. Raum. $x [mm] \in [/mm] X$ und $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ so gilt $x [mm] \in \overline{Y}$ [/mm] genau dann , wenn jede Umgebung von X mit Y nichtleeren Schnitt hat. |
Hallo,
Ich habe mir gedacht, dass ich das per Filterbasis des Umgebungsfilters zeige.
also ich möchte die Äquivalenz von
$1) x [mm] \in \overline{Y}$
[/mm]
$2) [mm] \forall [/mm] W [mm] \in \mathbb{W}(x) [/mm] : Y [mm] \cap [/mm] W [mm] \neq \emptyset$
[/mm]
zeigen - wobei [mm] $\mathbb{W}(x)$ [/mm] Filterbasis des Umgebungsfilters ist.
Also:
$ [mm] \x \not\in \overline{Y} \gdw \exists [/mm] B : x [mm] \not\in [/mm] B, [mm] B\supseteq [/mm] Y$
B ist natürlich abgeschlossen. Da aber die Komplemente von B offen sind ist das also äquivalent zu
$ [mm] \exists [/mm] O [mm] \in [/mm] T : x [mm] \in [/mm] O , O [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset$
[/mm]
allerdings stellen die offenen Mengen eine Umgebungsbasis von x dar und damit $1 [mm] \gdw [/mm] 2$
Habt ihr daran was auszusetzen oder findet Fehler? Passt das so?
Lg und danke
Peter_123
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mi 22.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei (X,T) ein top. Raum. [mm]x \in X[/mm] und [mm]Y \subseteq X[/mm] so gilt
> [mm]x \in \overline{Y}[/mm] genau dann , wenn jede Umgebung von X
> mit Y nichtleeren Schnitt hat.
> Hallo,
>
>
> Ich habe mir gedacht, dass ich das per Filterbasis des
> Umgebungsfilters zeige.
>
> also ich möchte die Äquivalenz von
>
> [mm]1) x \in \overline{Y}[/mm]
> [mm]2) \forall W \in \mathbb{W}(x) : Y \cap W \neq \emptyset[/mm]
>
> zeigen - wobei [mm]\mathbb{W}(x)[/mm] Filterbasis des
> Umgebungsfilters ist.
>
> Also:
>
> [mm]\x \not\in \overline{Y} \gdw \exists B : x \not\in B, B\supseteq Y[/mm]
Dem Quelltext entnehme ich, dass da steht:
[mm]x \not\in \overline{Y} \gdw \exists B : x \not\in B, B\supseteq Y[/mm]
>
> B ist natürlich abgeschlossen.
Mann, dann formuliere das doch so:
x [mm] \not\in \overline{Y} \gdw \exists [/mm] B : B ist abgeschlossen , x [mm] \not\in [/mm] B und [mm] B\supseteq [/mm] Y
> Da aber die Komplemente von
> B offen sind ist das also äquivalent zu
> [mm]\exists O \in T : x \in O , O \cap Y = \emptyset[/mm]
>
> allerdings stellen die offenen Mengen eine Umgebungsbasis
> von x dar und damit [mm]1 \gdw 2[/mm]
>
> Habt ihr daran was auszusetzen oder findet Fehler? Passt
> das so?
Passt ganz gut. Meine Einwände hast Du ja gelesen.
FRED
>
> Lg und danke
>
> Peter_123
>
>
|
|
|
|
