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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Fr 05.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es zu [mm] x \in \IR [/mm] höchstens ein [mm] n \in \IN [/mm] mit [mm] x+\bruch{\wurzel{2}}{n} \in \IQ [/mm] gibt. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz:
Sei [mm] x+\bruch{\wurzel{2}}{n} =q [/mm] und [mm] q \in \IQ [/mm]. Dann kann ich diese Gleichung umformen in [mm] \bruch{\wurzel{2}}{(q-x)}=n [/mm]. Da q>x ist, ist der Bruch positiv.
Wie kann ich jetzt zeigen, dass dieser Bruch genau 1 natürliche Zahl ist ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass es zu [mm]x \in \IR[/mm] höchstens ein [mm]n \in \IN[/mm]
> mit [mm]x+\bruch{\wurzel{2}}{n} \in \IQ[/mm] gibt.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe folgenden Ansatz:
> Sei [mm]x+\bruch{\wurzel{2}}{n} =q[/mm] und [mm]q \in \IQ [/mm]. Dann kann
> ich diese Gleichung umformen in [mm]\bruch{\wurzel{2}}{(q-x)}=n [/mm].
> Da q>x ist, ist der Bruch positiv.
> Wie kann ich jetzt zeigen, dass dieser Bruch genau 1
> natürliche Zahl ist ?
mach' es doch so:
Seien [mm] $n_1, n_2 \in \IN$ [/mm] (wobei [mm] $n_1=n_1(x),\;n_2=n_2(x)$) [/mm] natürliche Zahlen mit
[mm] $$x+\frac{\sqrt{2}}{n_1}=:q_1 \in \IQ,\;\;x+\frac{\sqrt{2}}{n_2}=:q_2 \in \IQ\,.$$
[/mm]
Dann folgt
[mm] $$x=\green{q_1-\frac{\sqrt{2}}{n_1}=q_2-\frac{\sqrt{2}}{n_2}}\,.$$
[/mm]
Bringe nun die [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] auf eine Seite und folgere, dass dann im Falle [mm] $n_1 \not=n_2$ [/mm] aber [mm] $\sqrt{2} \in \IQ$ [/mm] wäre; was bekanntlich falsch ist. Also: Widerspruch.
P.S.:
Du kannst auch so anfangen (das ist im Prinzip der gleiche Beweis):
Angenommen, es gebe ein [mm] $x_0 \in \IR$, [/mm] so dass zu diesem [mm] $x_0$ [/mm] dann [mm] $n_1=n_1(x_0),\;n_2=n_2(x_0) \in \IN$, $n_1 \not=n_2$ [/mm] existierten mit [mm] $x_0+\frac{\sqrt{2}}{n_1}=:q_1 \in \IQ,\;\;x_0+\frac{\sqrt{2}}{n_2}=:q_2 \in \IQ$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Fr 05.12.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Marcel,
VIELEN VIELEN DANK für die schnelle Hilfe !
Ein Gegenteilbeweis - tolle Idee !
Darauf bin ich nicht gekommen.
LG und vielen Dank, Susanne.
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