Element auf cart. Produkt abb. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Abbildungen f: [mm] \IR \to \IR² [/mm] und g: [mm] \IR² \to \IR [/mm] seien definiert durch f(x) = (x-1, x+1) und g(x,y) = 3x - 2y.
Welchen Eigenschaften hat g? |
Mir geht´s jetzt hier mehr ums Verstehen der Aufgabe, als um die Lösung.
Wie kann ich mir denn eine Abbildung eines Elementes auf ein cart. Produkt vorstellen bzw. andersrum? Wie kann man da dann z.B. Injektivität feststellen?
Ich versuche mir Abbildungen immer in einem Koordinatensystem vorzustellen, aber hier bin ich etwas ratlos.
Gruß
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Das mit dem Vorstellen ist so eine Sache. Hier geht es gerade noch: Denke dir ein kartesisches [mm]xyz[/mm]-Koordinatensystem. Dann ist der Graph der Funktion
[mm]z = g(x,y) = 3x - 2y[/mm]
eine Ebene (sogar eine Ursprungsebene), nämlich die mit der Gleichung
[mm]3x - 2y - z = 0[/mm]
Das kennst du vielleicht aus der Schule noch, die Normalform einer Ebene:
[mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0[/mm]
[mm]f[/mm] dagegen stellst du dir am besten als "Kurve" vor. [mm]x[/mm] sei die Zeit - suggestiv schreibe ich besser [mm]t[/mm]:
[mm]f(t) = (t-1,t+1)[/mm]
Zum Zeitpunkt [mm]t=1[/mm] befindet wir uns am Punkt [mm]f(1) = (0,2)[/mm], zum Zeitpunkt [mm]t=4[/mm] beim Punkt [mm]f(4) =(3,5)[/mm] usw. - wir wandern also auf einer Kurve! Zeichne dir ein paar solche Punkte in ein [mm]xy[/mm]-Koordinatensystem ein. Dann leuchtet dir auch sofort ein, warum ich das Wort "Kurve" in Anführungszeichen geschrieben habe.
Irgendwann ist aber einmal Schluß mit der Vorstellung, jedenfalls mit der "handelsüblichen" im zwei- oder dreidimensionalen Raum. Vielleicht schaust du einmal ![[]](/images/popup.gif) hier, klickst auf Mathewitze, Teil 1, und suchst auf der Internetseite das Stichwort Kaluza. Dann liest du einmal, was dort steht ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Di 24.10.2006 | | Autor: | Chichisama |
Hallo,
danke für deine ausführliche Antwort.
Du hast mir damit schon etwas geholfen geholfen!
Gruß,
Chichisama
P.S.: Wäre toll, wenn noch jemand ein Beispiel aus dem 2-dimensionalen Raum hätte. 
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> Die Abbildungen f: [mm]\IR \to \IR²[/mm] und g: [mm]\IR² \to \IR[/mm] seien
> definiert durch f(x) = (x-1, x+1) und g(x,y) = 3x - 2y.
> Welchen Eigenschaften hat g?
> Wie kann ich mir denn eine Abbildung eines Elementes auf
> ein cart. Produkt vorstellen bzw. andersrum? Wie kann man
> da dann z.B. Injektivität feststellen?
> Ich versuche mir Abbildungen immer in einem
> Koordinatensystem vorzustellen, aber hier bin ich etwas
> ratlos.
Wie Leopold Gast sagt, kann man sich hier ja noch ein bißchen etwas vorstellen, wie sehr einen das anstrengt, kommt auf den einzelnen an.
Aber es wird so oder so bald der Punkt kommen, an dem die Anschauung versagt.
Ich will versuchen, Dir zu erklären, wie ich mit solchen Dingen umgehe.
Ich führe da kleine Selbstgespräche mit mir, im Verlaufe derer ich das Wesentliche verstehe.
Ich lese z.b.:
> Die Abbildungen f: [mm]\IR \to \IR²[/mm] sei
> definiert durch f(x) = (x-1, x+1).
Worum geht es da?
Um eine Abbildung f.
Was wird da worauf abgebildet?
Die Abb. ist von [mm] \IR \to \IR^2
[/mm]
Was bedeutet das?
Ich stecke Zahlen rein und bekomme Zahlenpaare raus.
Welche Zahlenpaare bekomme ich?
Wenn ich x hineinstecke, bekomme ich (x-1,x+1)
Konkret?
2 [mm] \to [/mm] (2-1,2+1)=(1,3), ,3 [mm] \to [/mm] (2,4), 4 [mm] \to [/mm] (3,5) ...
Vielleicht klingt es etwas albern, aber so mache ich es bei allem Mathematischen, was ich lese. Es ist die halbe Miete, und mit Gründlichkeit kann ich Mängel an anderen Stellen - wie mangelnde Intelligenz, mangelnde Geschwindigkeit und mangelnde Kreativität - oft mehr als ausgleichen.
Jetzt versuchen wir als Beispiel für diese Vorgehensweise zu ergründen, ob f injektiv und surjektiv ist.
Was bedeutet injektiv?
Jedes Element der Zielmenge wird von höchstens einem Element aus der Startmenge getroffen. Es kann also nicht sein, daß zwei Elemente der Startmenge auf demselben Ziel landen.
Wie hieß das "in Zeichen"?
f(x)=f(y) ==> x=y
Was sind x und y bei meiner Funktion?
Reelle Zahlen. Also x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Was verbirgt sich hinter f(x)=f(y)?
Die Gleichheit zweier Zahlenpaare. (x-1,x+1)=(y-1,y+1)
Wann sind zwei Zahlenpaare gleich?
Wenn sie in allen Komponenten gleich sind.
Konkret?
Hier habe ich zwei Komponenten. Die ersten Komponenten müssen übereinstimmen und die zweiten. Also x-1=y-1und x+1=y+1.
Oh, hier gibts was zu rechnen! Das mache ich jetzt.
x-1=y-1und x+1=y+1 ist gleichbedeutend mit x=y und x=y.
???
Achso. x=y
Was teilt mir x=y mit?
Ich bin davon ausgegangen, daß ein Ziel von zwei Zahlen getroffen wird, f(x)=f(y).
Daraus folgte, daß die Zahlen gleich sind, x=y.
Das ist die Injektivität! Klasse, ich hab's! Jetzt schreibe ich es schön auf.
Du siehst, ohne mir bildlich etwas vorzustellen, habe ich doch mir eine Vorstellung verschaffen können von der Aufgabe und sie lösen.
Kurz zur Surjektivität.
Surjektiv bedeutet, daß jedes Element der Zielmenge getroffen wird.
Ist das hier der Fall?
Gucken wir zu den konkreten Zahlen:
2 [mm] \to [/mm] (2-1,2+1)=(1,3), ,3 [mm] \to [/mm] (2,4), 4 [mm] \to [/mm] (3,5)
Da kommt mir der Verdacht, daß nur die getroffen werden, deren Komponenten sich um 2 unterscheiden.
Ich glaube, daß (7,7) nicht getroffen wird. Wenn ich das zeigen könnte, hätte ich ein Gegenbeispiel.
Mal angenommen, ich hätte eine Zahl z, die Auf (7, 7) abgebildet wird.
Dann wäre f(z)=(z-1, z+1)=(7,7).
Übereinstimmung in beiden Komponenten bedeutet: z-1=7 UND z+1=7.
==> z=8 UND z=6 ==> 8=6.
Das ist ein Widerspruch. Also gibt es nicht so ein z.
Das bedeutet, daß keine Zahl auf (7,7) abgebildet wird.
Also ist f nicht surjektiv.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Do 26.10.2006 | | Autor: | Chichisama |
Hi Angela,
danke für deine Antwort. Jetzt ist es mir klar geworden! Vielen Dank!!
Gruß,
Chichisama
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