Elem. in einem endl. L-V.Raum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Folgern Sie, dass jeder endliche L-Vektorraum V mit einem beliebigen Körper L genau [mm] p^{m} [/mm] Elemente haben muss, für eine Primzahl p und m [mm] \in \IZ^{+} [/mm] |
Hallo liebe Community,
leider komme ich auch hier nicht unbedingt weiter...
KÖnnt ihr mir bitte ansätze geben ?
Lg,
Steffi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Di 04.12.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Steffi!
> Folgern Sie, dass jeder endliche L-Vektorraum V mit einem
> beliebigen Körper L genau [mm]p^{m}[/mm] Elemente haben muss, für
> eine Primzahl p und m [mm]\in \IZ^{+}[/mm]
> leider komme ich auch hier nicht unbedingt weiter...
> KÖnnt ihr mir bitte ansätze geben ?
Wenn der VR endlich ist, ist er auf jeden Fall endlich-dimensional, weil ja alle Vektoren zusammen ein endliches Erz.-System bilden.
(Ich merke gerade, daß die Aussage nicht stimmt, wenn der VR der Nullraum ist.)
Der Körper L muß ebenfalls endlich sein, denn sonst wären die Vielfachen eines Basisvektors ein unendlicher Teilraum. Aber dann ist nach einem außerordentlich bekannten Satz V [mm] \cong L^{n} [/mm] mit einer kanonischen Basis [mm] e_{1} [/mm] = (1, 0, 0, ... ) usw. Der VR selbst besteht dann aus den n-Tupeln, und die kann man abzählen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
