Elektrotechnik kompl. Zahlen < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man bezeichne [mm] j^2=-1 [/mm] als imaginäre Einheit, da man im Folgenden die Stromstärke mit i bzw I bezeichnet.
Einen elektrischen Wechselstrom mit Amplitude [mm] i_{m}, [/mm] Kreisfrequenz [mm] w=2\pi*f [/mm] und der Phasenverschiebung [mm] \alpha_{i} [/mm] können wir ausdrücken als
[mm] i(t)=i_{m} cos(w*t+\alpha_{i}), i_{m}>0, [/mm] w>0, [mm] \alpha_{i} \varepsilon \IR,t \varepsilon \IR
[/mm]
Es ergibt sich die komplexe Schreibweise:
i(t)=R( [mm] i_{m}*e^{j(wt+\alpha_{i}})
[/mm]
Weshalb kann man die Gleiche Funktion auch komplex darstellen? |
Hallo zusammen, das ist ein Bsp. das uns so gegeben wurde, die Frage stelle ich mir allerdings mehr oder weniger selber, da ich die komplexe Schreibweise noch nicht so verinnerlicht habe, bzw, da ich das nicht aus den mit bekannten Definitionen erschließt...
Deshalb wird die Antwort wahrscheinlich auch relativ kurz ausflallen=)
Nach dieser Schreibweise würde das ja bedeuten, aus " [mm] cos(wt+\alpha_{i}) [/mm] "
wird " [mm] e^{j(wt+\alpha_{i}}) [/mm] " also vereinfacht aus einer Cosinusfunktion mit argument y: cos(y) wird komplex: [mm] e^{iy}??
[/mm]
Aber wieso denn? Ich kenne die Schreibweisen:
[mm] -e^{iy}=cos(y)+i [/mm] sin(y)---> Wenn iy eine komplexe Zahl mit NUR Imaginärteil darstellt
-und [mm] e^{z}, [/mm] mit [mm] z\varepsilon \IC [/mm] = [mm] e^{x+iy}=e^{x}(cos(y)+i [/mm] sin(y)
...ich weiß nicht, ob ich grade nur blind bin, aber ich komme nicht drauf wie sich in dem Bsp aus der Elektrotechnik diese beiden Schreibweisen ineinander überführen lassen?!
(Es ist eine rein mathematische Frage, die "Physik" dahinter sei in diesem Fall zu vernachlässigen)
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo theoretix,
die Einführung komplexer Zahlen erleichtert das Bearbeiten etlicher Probleme in der E-Technik, gerade das Integrieren und Differenzieren wird dadurch einfacher nach dem alten Motto "e-Funktion bleibt e-Funktion". Was Du in Deinem Beispiel geflissentlich übersehen hast ist das "R" vor dem Ausdruck, dem man zu meinen Studienzeiten noch ein "e" hinzufügte, um auf den Realteil einer komplexen Größe hinweisen. Unter dieser Randbedingung ist die Cosinus-Schreibweisewirklich äquivalent zur komplexen Schreibweise, denn der Imaginärteil der komplexen Größe wird nicht weiter beachtet.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
Ich danke dir für die ausführliche Antwort!
Also kurz gesagt;
Wenn man in komplexe Schreibweise übergehen möchte Betrachtet man eine Zahl bzw. einen ganzen Term einfach als eine komplexe Zahl, die eben nur einen Realteil besitzt, da sie ja real ist und deswegen fällt "sin(...)" als imaginär- Teil komplett weg?!
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Infinit |
Für eine Darstellung einer Cosinusfunktion ist dies genau der Weg, wenn Du aus irgendwelchen Gründen mit einem Sinus rechnen willst, nimmst Du eben den Imaginärteil der komplexen Größe. Schön an dieser Darstellung ist eben, dass man im Komplexen rechnen kann (es gibt auch Leute, die sowas nicht schön finden  ) und erst am Ende der Rechnung bezieht man sich durch die Realteil- oder Imaginärteilbildung wieder auf das physikalische Signal.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
