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| Aufgabe | [mm] $f(x,y,z)=x^n+y^n-z^n \in \IQ[X,Y,Z].$
[/mm]
Zeigen Sie f ist irreduzibel über [mm] $\IQ[X,Y,Z]$. [/mm] |
Hallo,
vielleicht klappt das ja über Eisenstein, [mm] $\IQ[X,Y,Z]\cong\IQ[Y,Z][X]$ [/mm] y-z ist irreduzibel in [mm] $\IQ[Y,Z]$, [/mm] und y-z teilt [mm] y^n-z^n. [/mm] y-z teilt nicht 1, was jetzt noch fehlt ist , das [mm] (y-z)^2 [/mm] nicht [mm] y^n-z^n [/mm] teilt.
kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:39 Mi 16.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]f(x,y,z)=x^n+y^n-z^n \in \IQ[X,Y,Z].[/mm]
> Zeigen Sie f ist
> irreduzibel über [mm]\IQ[X,Y,Z][/mm].
>
> vielleicht klappt das ja über Eisenstein,
> [mm]\IQ[X,Y,Z]\cong\IQ[Y,Z][X][/mm] y-z ist irreduzibel in [mm]\IQ[Y,Z][/mm],
> und y-z teilt [mm]y^n-z^n.[/mm] y-z teilt nicht 1, was jetzt noch
> fehlt ist , das [mm](y-z)^2[/mm] nicht [mm]y^n-z^n[/mm] teilt.
Schau dir mal den Polynomring [mm] $(\IQ(z))[y]$ [/mm] ueber dem Koerper [mm] $\IQ(z)$ [/mm] an. Zeige, dass $f = [mm] y^n [/mm] - [mm] z^n$ [/mm] dort quadratfrei ist (indem du etwa [mm] $\gcd(f(y), [/mm] f'(y))$ berechnest). Aber nach Gauss ist dann $f$ auch quadratfrei in [mm] $\IQ[y, [/mm] z]$, womit es von $y - z$ nur einmal geteilt wird.
LG Felix
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