Einstieg in Diff'gleichungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Di 26.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Ich beschäftige mich gerade mit Differenzialgleichungen, mir fehlt da jedoch etwas der Einstieg.
Aus der Schule weiß ich folgendes:
(Für z.B: die Differenzialgleichung exponentiellen Wachstums):
f'(x) ~ f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = k*f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] c*e^{k*x}
[/mm]
Nun habe ich hier allgemeiner formuliert stehen:
y'(t) = f(t,y(t)) für alle t [mm] \in [/mm] [a,b] mit [mm] f:\IR^2 \to \IR, [/mm] y:[a,b] [mm] \to \IR
[/mm]
y(a) = [mm] y_0 [/mm] der gegebene Anfangswert. Gesucht ist y(t).
Was mir nun Schwierigkeiten macht ist die Funktion f(t,y(t)). f ist eine Funktion mehrere Veränderlicher - Soweit so klar. Und diese Funktion soll am Punkt (t,y(t)) den gleichen Funktionswert habe wie die Steigung von y(t), also muss y'(t) = f(t,y(t)) gelten.
f(t,y(t)) bezeichnet also die Steigung in jedem Punkt von y(t) und wenn ich diese dann in [mm] \IR^2 [/mm] einzeichne habe ich den ungefähren Graphenverlaufe oder nicht? Dann brauch ich nur noch den Graph entsprechend des Anfangswertes zu verschieben.
Ist das so richtig? Ich muss sagen, wenn ja, dann finde ich, dass ich es noch nicht ganz verstanden habe. Vielleicht kann das jemand nochmal in seinen Worten erklären?
Und vorallendingen was hat diese Form mit der Form des exponentiellen Wachstums zu tun? ;)
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Di 26.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Pille
Auf der Schule wird oft nur die allereinfachste DGL behandelt, eben die des exponentiellen wachstums, oder Zerfalls also f'(x)=k*f(x) mit der Loesung [mm] f(x)=C*e^{kx}
[/mm]
das sind wegen des beliebigen C unendlich viele Loesungen.
wenn man jetzt noch einen angangswert vorgibt, also [mm] f(0)=f_0 [/mm] dann kann man C bestimmen und hat eine eindeutige Loesung.
DGL treten immer auf, wenn man zeitliche (t) oder vom Weg (x) abhaengige "Veraenderungen" hat. das muss nicht immer Wachstum oder Zerfall sein, sondern auch viele andere Vorgaenge. Dein f(t,y(t)) kann z. Bsp nur von y(t) abhaengen, ein Beispiel dafuer waere deine Wachstumsfkt wo f(t,y(t))=k*y(t)
oder sie kann nur von t abhaengen: Beispiel [mm] f(t,y(t))=k*t^2 [/mm] mit der allgemeinen Loesung [mm] y'(t)=k*t^2 y(t)=k/3*t^3+C
[/mm]
Aber wie mathe so ist, so einfache Probleme gibt es selten.
Also das naechst einfache: f(t,y(t))=t*y(t)
y'=t*y Loesung [mm] y=C*e^{t^2/2}
[/mm]
Was du mit dem Eintragen in [mm] R^2 [/mm] meinst, hab ich hoffentlich richtig verstanden.
im Beispiel y'=t*y traegst du etwa bei (0,0) die Steigung 0 auf, ebenso auf jedem Pkt der y-Achse (t=0) und jedem Punkt der t-Achse, (y=0) bei (1,1) die Steigung 1, bei (1,2) die Steigung 2, bei (2,3) die Steigung 6 bei (-1,0.5)die Steigung -0.5. usw.
Wenn du jetzt genuegend viele punkte mit kleinen Richtungsstrichen versehen hast kannst du bei einem Punkt anfangen und von da aus weiter den ungefaehren Verlauf der Loesung finden.
ich hab dir mal das Beispiel und ausserdem y'=t*sin(y) gemalt und ein paar verschieden Loesungskurven mit verschiedenen anfangswerten, damit du siehst, dass die auch recht verschieden aussehen koennen und nicht nur verschoben sind.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:35 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Exakt das meinte ich mit dem Zeichnen in [mm] \IR^2 [/mm] ;)
Wow, Dankeschön, das hat mir wirklich sehr geholfen!!!!!
|
|
|
|
