Einige Fragen zu Rechenarten mit Parabeln & Geraden... < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:55 Di 31.08.2004 | | Autor: | Freddie |
Ich habe einige Fragen zu den Rechenarten (also wie man darauf kommt, Tipps wie man es sich selbst erschließen kann) rund um das Thema Parabeln.
1) Die quadratische Funktion f = a * x ^2 + b * x + c hat die Nullstellen -1 und 3. An der Stelle 0 hat f (y?) den Wert 3.
Bestimme die Parameter a,b und c.
Ich habe leider keinen Anhaltspunkt. Ich habe auch einen anderen Thread aufgemacht in dem ich nochmal erklärt haben wollte was a/b genau ist.
2) Es sind 4 Punkte gegeben:
A ( -2 | 3) B (0,5 | -6 ) C (0 | 0 ) D (3 | -2 )
parabel: y = [mm] x^2 [/mm] - 2 * x - 5
Zwei davon liegen auf der Parabel. Ich soll die beiden Punkte finden und von dieser Sekante die Normalform finden.
Mein Ansatz wäre so für
A : 3 = 4 + 4 - 5 = 3 = 3 Punkt liegt auf Parabel !
B : - 6 = 0,25 - 1 - 5 ... liegt nicht auf Parabel
C : 0 = - 5 also auch nicht...
D : -2 = 9 - 6 - 5 : Liegt auf Parabel !
Das bedeutet die Gerade geht durch (-2 | 3 ) und ( 3 | - 2 ).
Das wiederrum bedeutet wenn man es sich vorstellt das wenn man auf der X-Achse um 5 nach Rechts geht (von -2 auf 3) sie von 3 auf -2 gefallen ist. Also eine Steigung von -1 und die y-Achse trifft sie bei 1.
Normalform für Geraden : y = m*x + b
Also wäre es doch: y = -1x + 1 oder?
3) Rechnerisch (!) gemeinsame Punkte von Parabel und Gerade finden. Nehmen wir als Beispiel:
Parabel: y = [mm] x^2 [/mm] - x - 6
Gerade: y = 2x -2
Auch hier weiß ich wie in Aufgabe 1 nicht wie ich Anfangen soll.
4) Rechnerisch (!) die gemeinsamen Punkte der beiden Parabeln bestimmen:
y = - 1/2 [mm] x^2 [/mm] + 3x + 1/2
y = 1/4 [mm] x^2 [/mm] - 3/2x + 17/4 !
Meine Idee da es beides mal y ist einfach gleichzustellen. Also:
- 1/2 [mm] x^2 [/mm] + 3x + 1/2 = 1/4 [mm] x^2 [/mm] - 3/2x + 17/4 !
Würde für mich ergeben: -3/4 [mm] x^2 [/mm] + 9/2x - 15/4 = 0
Und wie mache ich dann weiter?
5 ) Wenn es heißt "wenn die Funktion den Wert 3 annimmt" meint man doch f(x) bzw. y oder?
6) Die Nullstellenberechnung ist dank der pq Formel und des Funktionsplotters FunkyPlot ja leicht zu überprüfen. Wenn ich jetzt habe:
f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 4x + 3
Wobei wir bei dieser Aufgabe für f(x) 0 einsetzen!
(Nullstellen bei 1 & 3) .
Wie kann ich dann ausrechnen wo der FunktionsWert 3 ist?
> Meint man damit auf der y-Achse?
(Durch den Plotter habe ich Erfahren das es auf der y-Achse einmal bei 0 und einmal bei 4 passiert.) Doch wie errechne ich das?
7) Wie kann ich eine Funktion Beschreiben von dem ich weiß (durch eine Grafik):
Scheitelpunkt, die beiden Nullstellen, Ende oben links + rechts (bei einer nach oben geöffneten Parabel die danach geradlinig auf der x-Achse weiterverläuft. Also nur einen Abschnitt eine Parabel bildet.
So ich hoffe einfach das ich euch nicht zuviel zumute und bin euch dankbar über jede Hilfe die Ihr mir geben könnt.
Wie gesagt evt. ein Link wo Sachen erklärt sind wäre Hilfreich.
Habe meine Mathe-Nachprüfung in der 11. Klasse zum Thema:
- Parabeln
- Lineare Gleichungssysteme mit Parabeln
- Differnzialbereich: Parabeln / Tangenten / Trigonometrische Funktionen
- Nullstellensuche incl. Newtonverfahren & Polynomdivision.
PS: Dieser Thread wurde im 9-10 Forum erstellt da man solche Dinge hauptsächlich in diesen Klassen macht.
Und wie immer gilt:
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Di 31.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Servus Freddie,
das sind ja ne Menge Fragen ^^;
> 1) Die quadratische Funktion f = a * x ^2 + b * x + c hat
> die Nullstellen -1 und 3. An der Stelle 0 hat f (y?) den
> Wert 3.
> Bestimme die Parameter a,b und c.
>
> Ich habe leider keinen Anhaltspunkt. Ich habe auch einen
> anderen Thread aufgemacht in dem ich nochmal erklärt haben
> wollte was a/b genau ist.
Hier hast Du drei Gleichungen gegeben, mit denen Du nach 3 Variablen suchst:
$0 = [mm] a*(-1)^2+b*(-1)+c$ [/mm] (Nullstelle)
$0 = [mm] a*(3)^3+b*(3)+c$ [/mm] (Nullstelle)
$3 = [mm] a*0^2+b*0+c$ [/mm] ("An der Stelle 0 hat die Funktion den Wert 3.")
Was die Koeffizienten genau bedeuten, weiss ich leider auch nicht mehr so gut ^^;
> 2) Es sind 4 Punkte gegeben:
> A ( -2 | 3) B (0,5 | -6 ) C (0 | 0 ) D (3 | -2 )
> parabel: y = [mm]x^2[/mm] - 2 * x - 5
> Zwei davon liegen auf der Parabel. Ich soll die beiden
> Punkte finden und von dieser Sekante die Normalform
> finden.
> Mein Ansatz wäre so für
> A : 3 = 4 + 4 - 5 = 3 = 3 Punkt liegt auf Parabel !
> B : - 6 = 0,25 - 1 - 5 ... liegt nicht auf Parabel
> C : 0 = - 5 also auch nicht...
> D : -2 = 9 - 6 - 5 : Liegt auf Parabel !
Soweit, so richtig!
> Das bedeutet die Gerade geht durch (-2 | 3 ) und ( 3 | - 2
> ).
> Das wiederrum bedeutet wenn man es sich vorstellt das wenn
> man auf der X-Achse um 5 nach Rechts geht (von -2 auf 3)
> sie von 3 auf -2 gefallen ist. Also eine Steigung von -1
> und die y-Achse trifft sie bei 1.
> Normalform für Geraden : y = m*x + b
> Also wäre es doch: y = -1x + 1 oder?
Ja, das ist korrekt, wenn Du das ganze gleich als Formel aufstellen willst:
Wenn Du zwei Punkte hast, sagen wir [mm] $P_1=(x_1,y_1)$ [/mm] und [mm] $P_2=(x_2,y_2)$, [/mm] dann sieht die Geradengleichung zunächst so aus:
$y = m*x + b$ mit $m = [mm] \bruch{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ [/mm] und dann $b = [mm] y_i-m*x_i$ [/mm] für i=1 oder 2.
Damit erhälst Du dann direkt $y = -x+1$
> 3) Rechnerisch (!) gemeinsame Punkte von Parabel und Gerade
> finden. Nehmen wir als Beispiel:
> Parabel: y = [mm]x^2[/mm] - x - 6
> Gerade: y = 2x -2
> Auch hier weiß ich wie in Aufgabe 1 nicht wie ich Anfangen
> soll.
Wie in der nächsten Ausgabe musst Du, um gemeinsame Punkte zu finden, die Gleichungen gleichsetzen und nach x auflösen, dann setzt Du die x, die Du als Lösung erhalten hast, in eine der Gleichungen ein und erhälst die kompletten Koordinaten.
> 4) Rechnerisch (!) die gemeinsamen Punkte der beiden
> Parabeln bestimmen:
> y = - 1/2 [mm]x^2[/mm] + 3x + 1/2
> y = 1/4 [mm]x^2[/mm] - 3/2x + 17/4 !
>
> Meine Idee da es beides mal y ist einfach gleichzustellen.
> Also:
> - 1/2 [mm]x^2[/mm] + 3x + 1/2 = 1/4 [mm]x^2[/mm] - 3/2x + 17/4 !
> Würde für mich ergeben: -3/4 [mm]x^2[/mm] + 9/2x - 15/4 = 0
> Und wie mache ich dann weiter?
Ich würde hier durch [mm] $-\bruch{3}{4}$ [/mm] teilen und die pq-Formel anwenden:
[mm] $-\bruch{3}{4}x^2+\bruch{9}{2}x-\bruch{15}{4}=0 \gdw x^2-6x+5=0$
[/mm]
Du kannst auch den Satz von Vieta anwenden:
Für Gleichungen der Form $f(x) = [mm] x^2+bx+c$ [/mm] gibt es, sofern sie lösbar sind, $s$ und $t$ in [mm] \IR [/mm] mit $s*t=c$ und $s+t=b$
> 5 ) Wenn es heißt "wenn die Funktion den Wert 3 annimmt"
> meint man doch f(x) bzw. y oder?
Das ist richtig, dann setzt Du 3 an den Stellen ein, die Du benannt hast und löst nach x auf.
> 6) Die Nullstellenberechnung ist dank der pq Formel und des
> Funktionsplotters FunkyPlot ja leicht zu überprüfen. Wenn
> ich jetzt habe:
> f(x) = [mm]x^2[/mm] - 4x + 3
> Wobei wir bei dieser Aufgabe für f(x) 0 einsetzen!
> (Nullstellen bei 1 & 3) .
> Wie kann ich dann ausrechnen wo der FunktionsWert 3 ist?
>
> > Meint man damit auf der y-Achse?
> (Durch den Plotter habe ich Erfahren das es auf der
> y-Achse einmal bei 0 und einmal bei 4 passiert.) Doch wie
> errechne ich das?
Du setzt, wie in der letzten Frage beschrieben, 3 für $f(x)$ ein und löst nach $x$ auf, in der pq-Formel wird sich dann etwas ergeben, wofür 0 und 4 rauskommt.
Was am Anfang mit "Wobei wir bei dieser Aufgabe für f(x) 0 setzen" gemeint ist, weiss ich nicht, vielleicht, dass so die Nullstellen berechnet werden, oder, dass wenn man $f(x)=3$ gesetzt hat, alles auf eine Seite rüberschaufelt...
> 7) Wie kann ich eine Funktion Beschreiben von dem ich weiß
> (durch eine Grafik):
> Scheitelpunkt, die beiden Nullstellen, Ende oben links +
> rechts (bei einer nach oben geöffneten Parabel die danach
> geradlinig auf der x-Achse weiterverläuft. Also nur einen
> Abschnitt eine Parabel bildet.
Ich verstehe die Grafik nicht, glaube ich, meinst Du quasi eine Gerade auf der x-Achse, die eine "Beule" in Form eines Parabelabschnitts hat?
Wenn ja, dann musst Du die Funktion abschnittsweise definieren, aber zunächst schauen wir uns die Parabel genauer an:
Du hast zwei Nullstellen und einen Scheitelpunkt, das sind drei Punkte, dazu noch das Wissen, dass eine Parabelartige Funktion aussieht wie [mm] $f(x)=a*x^2+b*x+c$, [/mm] dann kannst Du mit den drei Punkten wieder nach a,b und c auflösen.
Deine Funktionsvorschrift sähe dann etwa so aus:
$f(x) = [mm] \begin{cases} 0 & \text{, falls x kleiner als die linke Nullstelle} \\ a*x^2+b*x+c & \text{, falls x zwischen beiden Nullstellen} \\ 0 & \text{, falls x größer als die rechte Nullstelle}\end{cases}$
[/mm]
> So ich hoffe einfach das ich euch nicht zuviel zumute und
> bin euch dankbar über jede Hilfe die Ihr mir geben könnt.
> Wie gesagt evt. ein Link wo Sachen erklärt sind wäre
> Hilfreich.
Mit Links kann ich leider nicht dienen ^^;
> Habe meine Mathe-Nachprüfung in der 11. Klasse zum
> Thema:
> - Parabeln
> - Lineare Gleichungssysteme mit Parabeln
> - Differnzialbereich: Parabeln / Tangenten /
> Trigonometrische Funktionen
> - Nullstellensuche incl. Newtonverfahren &
> Polynomdivision.
Wenn Du dazu noch irgendwelche Fragen hast, stell´ sie ruhig ^^
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Mikel |
Hallo Freddie,
hier stelle ich Dir meine Lösungsvorschläge zu Deinem Posting vom 31.08.04, 01:56 Uhr zur Verfügung.
Zu Aufgabe 1. (f(x) = ax²+2bx+c) wolltest du wissen, wo man ansetzt, um die Parameter (eigentlich Koeffizienten) zu bestimmen.
Was wir schon mal haben, ist die bereits vorgegebene Lösung der quadratischen Gleichung, nämlich die Nullstellen [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=3.
[/mm]
Diese zwei Lösungen müssen aus folgenden Linearfaktoren bestehen und es muss gelten
0 = (x+1)(x-3)
Setzt man die Zahlen 1 und 3 ein, wird einer der Faktoren null und damit die ganze Gleichung. Denn wenn mindestens einer der beiden Faktoren null wird, so ist f(x) = 0.
Jetzt brauchen wir die Klammern der Linearfaktoren nur noch zu beseitigen und wir erhalten:
0 = x²-2x-3 und unsere Funktion mitsamt allen Koeffizienten steht.
Bist du sicher, dass, wie im Aufgabenteil vorausgesetzt wird, an der Stelle 0 f(y?) den Wert 3 hat und nicht eher 3?
Jedenfalls lautet die Funktionsgleichung f(x) = x²-2x-3, denn wenn du die x-Werte der Lösung 1 und 3 jeweils in die Gleichung einsetzt, erhälst du als Lösung null. Damit ist Aufgabe 1 gelöst. Das Absolutglied 3 bedeutet, dass die Parabel die y-Achse im Punkt P(0/-3) schneidet.
Soweit zur Aufgabe 1. Benötigst du für die Aufgaben 2 7 immer noch Hilfe?
Viele Grüße
Mikel
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