Einheitswurzel, endl. Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Man bestimme die Galoisgruppe des Polynoms $f = [mm] X^5-1 \in \IF_7[X]$. [/mm] |
Hallo,
ich würde gerne wissen, ob meine Lösung korrekt ist.
Sei [mm] $\zeta \in \overline{\IF_7}$ [/mm] 5-te primitive Einheitswurzel. Dann ist [mm] $\zeta$ [/mm] Nullstelle des 5-ten Kreisteilungspolynoms [mm] $X^4+X^3+X^2+X+1 \in \IF_7[X]$, [/mm] welches allerdings nicht notwendig irreduzibel ist.
Wir wissen aber: Eine endliche Erweiterung [mm] $\IF/\IF_q, q=p^n$ [/mm] ist stets zyklisch und wird vom relativen Frobeniushomomorphismus [mm] $\sigma: \IF \to \IF, [/mm] a [mm] \mapsto a^q$ [/mm] erzeugt. Denn endliche Erweiterung des Körpers [mm] $\IF_q$ [/mm] haben immer die Form [mm] $\IF_{q'}, q'=p^{n'}, [/mm] n [mm] \:|\: [/mm] n' [mm] \Rightarrow [\IF_q:\IF_{q'}] [/mm] = [mm] \frac{n'}{n}=:m$. [/mm] Man zeigt dann, dass [mm] $\sigma$ [/mm] Galoisautomorphismus der Ordnung m ist und somit bereits die ganze Galoisgruppe erzeugen muss.
Damit ist die Adjunktion einer primitiven Einheitswurzel auch eine solche Erweiterung.
Für allgemeine Körper mit $char [mm] \:K \:\not|\:n$ [/mm] ist [mm] $\psi: Gal(K(\zeta_n)/K) \to Aut(U_n), \sigma \mapsto \sigma|_{U_n}$ [/mm] ein Monomorphismus.
Betrachten wir also wieder unsere Erweiterung [mm] $\IF/\IF_q$ [/mm] in Charakteristik p, [mm] $\IF=\IF_q(\zeta)$ [/mm] mit einer primitiven n-te Einheitswurzel [mm] $\zeta$ [/mm] mit [mm] $ggT(q,n)=1\:$. [/mm] Auch hier ist die Abbildung [mm] $\psi$ [/mm] ein Monomorphismus. Identifizieren wir [mm] $U_n$ [/mm] mit [mm] $(\IZ/n\IZ)^{\times}$, [/mm] dann ist [mm] $\psi(\sigma) [/mm] = [mm] \overline{q}$, [/mm] da [mm] $\sigma$ [/mm] ja auch auf [mm] $U_n$ [/mm] die Form $a [mm] \to a^q$ [/mm] hat. Damit wird das Bild [mm] $\psi(Gal(K(\zeta_n)/K)) \subset (IZ/n\IZ)^{\times}$ [/mm] erzeugt von [mm] $\overline{q}$. [/mm] Das Bild ist wie der Urbild zyklisch.
Also betrachten wir für die Aufgabe einfach die von [mm] $\overline{7}$ [/mm] erzeugte Untergruppe in [mm] $(\IZ/5\IZ)^{\times}$. [/mm] Es stellt sicher heraus: [mm] $<\overline{7}> [/mm] = [mm] (\IZ/5\IZ)^{\times}$. [/mm] Damit ist die Galoisgruppe von $f = [mm] X^5-1 \in \IF_7[X]$ [/mm] gerade [mm] $(\IZ/5\IZ)^{\times}$.
[/mm]
Der Zerfällungskörper hat also den Grad 4 über [mm] $\IF_7$ [/mm] und das 5-te Kreisteilungspolynom ist irreduzibel in [mm] $\IF_7[X]$
[/mm]
So, stimmt das alles?
LG Lippel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Do 17.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man bestimme die Galoisgruppe des Polynoms [mm]f = X^5-1 \in \IF_7[X][/mm].
>
> ich würde gerne wissen, ob meine Lösung korrekt ist.
>
> Sei [mm]\zeta \in \overline{\IF_7}[/mm] 5-te primitive
> Einheitswurzel. Dann ist [mm]\zeta[/mm] Nullstelle des 5-ten
> Kreisteilungspolynoms [mm]X^4+X^3+X^2+X+1 \in \IF_7[X][/mm], welches
> allerdings nicht notwendig irreduzibel ist.
>
> Wir wissen aber: Eine endliche Erweiterung [mm]\IF/\IF_q, q=p^n[/mm]
> ist stets zyklisch und wird vom relativen
> Frobeniushomomorphismus [mm]\sigma: \IF \to \IF, a \mapsto a^q[/mm]
> erzeugt. Denn endliche Erweiterung des Körpers [mm]\IF_q[/mm] haben
> immer die Form [mm]\IF_{q'}, q'=p^{n'}, n \:|\: n' \Rightarrow [\IF_q:\IF_{q'}] = \frac{n'}{n}=:m[/mm].
> Man zeigt dann, dass [mm]\sigma[/mm] Galoisautomorphismus der
> Ordnung m ist und somit bereits die ganze Galoisgruppe
> erzeugen muss.
> Damit ist die Adjunktion einer primitiven Einheitswurzel
> auch eine solche Erweiterung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für allgemeine Körper mit [mm]char \:K \:\not|\:n[/mm] ist [mm]\psi: Gal(K(\zeta_n)/K) \to Aut(U_n), \sigma \mapsto \sigma|_{U_n}[/mm]
> ein Monomorphismus.
> Betrachten wir also wieder unsere Erweiterung [mm]\IF/\IF_q[/mm] in
> Charakteristik p, [mm]\IF=\IF_q(\zeta)[/mm] mit einer primitiven
> n-te Einheitswurzel [mm]\zeta[/mm] mit [mm]ggT(q,n)=1\:[/mm]. Auch hier ist
> die Abbildung [mm]\psi[/mm] ein Monomorphismus. Identifizieren wir
> [mm]U_n[/mm] mit [mm](\IZ/n\IZ)^{\times}[/mm],
Kann es sein, dass [mm] $U_n$ [/mm] die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln, also isomorph zu [mm] $\IZ/n\IZ$, [/mm] und [mm] $Aut(U_n)$ [/mm] isomorph zu [mm] $(\IZ/n\IZ)^\ast$? [/mm] Du identifizerst also [mm] $Aut(U_n)$ [/mm] mit [mm] $(\IZ/n\IZ)^\ast$?
[/mm]
> dann ist [mm]\psi(\sigma) = \overline{q}[/mm],
> da [mm]\sigma[/mm] ja auch auf [mm]U_n[/mm] die Form [mm]a \to a^q[/mm] hat. Damit
> wird das Bild [mm]\psi(Gal(K(\zeta_n)/K)) \subset (IZ/n\IZ)^{\times}[/mm]
> erzeugt von [mm]\overline{q}[/mm]. Das Bild ist wie der Urbild
> zyklisch.
>
> Also betrachten wir für die Aufgabe einfach die von
> [mm]\overline{7}[/mm] erzeugte Untergruppe in [mm](\IZ/5\IZ)^{\times}[/mm].
> Es stellt sicher heraus: [mm]<\overline{7}> = (\IZ/5\IZ)^{\times}[/mm].
> Damit ist die Galoisgruppe von [mm]f = X^5-1 \in \IF_7[X][/mm]
> gerade [mm](\IZ/5\IZ)^{\times}[/mm].
> Der Zerfällungskörper hat also den Grad 4 über [mm]\IF_7[/mm]
> und das 5-te Kreisteilungspolynom ist irreduzibel in
> [mm]\IF_7[X][/mm]
>
> So, stimmt das alles?
Ja.
Alternativ kannst du dir auch ueberlegen:
* Die Nullstellen von [mm] $X^5 [/mm] - 1$ sind gerade die fuenften Einheitswurzeln;
* In [mm] $\IF_{7^k}$ [/mm] gibt es genau dann eine primitive fuenfte Einheitswurzel, falls [mm] $7^k [/mm] - 1$ durch 5 teilbar ist;
* das kleinste $k$, fuer das [mm] $7^k [/mm] - 1$ durch 5 teilbar ist, ist gerade die multiplikative Ordnung von 7 in [mm] $\IZ/5\IZ$;
[/mm]
* das kleinste solche $k$ gibt also den Erweiterungsgrad vom ZK ueber [mm] $\IF_7$, [/mm] ist also die Maechtigkeit der Galoisgruppe.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend, vielen Dank für deine Hilfe!
> Kann es sein, dass [mm]U_n[/mm] die Menge der [mm]n[/mm]-ten Einheitswurzeln,
> also isomorph zu [mm]\IZ/n\IZ[/mm], und [mm]Aut(U_n)[/mm] isomorph zu
> [mm](\IZ/n\IZ)^\ast[/mm]? Du identifizerst also [mm]Aut(U_n)[/mm] mit
> [mm](\IZ/n\IZ)^\ast[/mm]?
Ja, das meinte ich, habe mich verschrieben.
LG Lippel
|
|
|
|
