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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 22.04.2009 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei [mm]A = \{z \in \IC| \left| z \right|<1 \}[/mm] die Einheitsscheibe und [mm]a\in A[/mm]
Zeige, dass [mm] f: A \to A, f(z) = \bruch{z-a}{\bar a z -1}[/mm] bijektiv ist und bestimme [mm]f \circ f [/mm] |
zz: 1) f surjektiv
2) f injektiv
zu 1): Sei [mm]z \in A [/mm] bel. [mm]
[mm]f(z)=\bruch{z-a}{\bar a z -1}[/mm]
[mm] setzte z=u+iv[/mm] und [mm] a=x+iy[/mm]
[mm]f(z)=\bruch{(u+iv)-(x+iy)}{(x-iy)(u+iv)-1}=\bruch{(u-x)+i(v-y)}{(xu+yv)+i(xv-uy)-1}[/mm]
Hier komm ich leider nicht weiter. Der plan war den Bruch zu vereinfachen und den Betrag zu bestimmen, der dann in A liegen müsste....
Vielleicht hat je jemand einen netten Tipp für mich. Vielen lieben Dank 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Mi 22.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Zur Injektivität:
Seien [mm] z_1, z_2 \in [/mm] A dann gilt (nachrechnen !!)
[mm] f(z_1) [/mm] = [mm] f(z_2) \gdw (|a|^2-1)z_1 [/mm] = [mm] (|a|^2-1)z_2
[/mm]
Wegen a [mm] \in [/mm] A hat man:
[mm] f(z_1) [/mm] = [mm] f(z_2) \gdw z_1=z_2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mi 22.04.2009 | | Autor: | ella87 |
$ [mm] f(z_1) [/mm] $ = $ [mm] f(z_2) \gdw (|a|^2-1)z_1 [/mm] $ = $ [mm] (|a|^2-1)z_2 [/mm] $
wie kommst du dadrauf? Ist das wirklich die selbe funktion? ich seh das irgendwie noch nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 22.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Multipliziere in
[mm] $\bruch{z_1-a}{\bar a z_1 -1} [/mm] = [mm] \bruch{z_2-a}{\bar a z_2 -1}$
[/mm]
mit den Nennern jeweils durch, dann multiplizierst Du rechts und links aus, etc...
Mach mal
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 22.04.2009 | | Autor: | ella87 |
aaaaah!!! vielen dank!! alles nachgerechnet. f ist injektiv.
wie siehts mit der surjektivität aus? da ist mein ansatz bestimmt auch nicht richtig oder? man macht das nicht indem man z=u+iv und a=x+iy setzt oder? ich kann das nämlich nicht weiter vereinfachen....
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Hallo ella87,
> aaaaah!!! vielen dank!! alles nachgerechnet. f ist
> injektiv.
> wie siehts mit der surjektivität aus? da ist mein ansatz
> bestimmt auch nicht richtig oder? man macht das nicht indem
> man z=u+iv und a=x+iy setzt oder? ich kann das nämlich
> nicht weiter vereinfachen....
Rechne das doch einfach wie üblich nach ...
[mm] $f(z)=w=\frac{z-a}{\overline{a}z-1}$
[/mm]
Das gilt es nach $z$ aufzulösen:
[mm] $\Rightarrow w(\overline{a}z-1)=z-a$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow z(1-\overline{a}w)=a-w$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow z=\frac{a-w}{1-\overline{a}w}$
[/mm]
Damit ist ein Urbild für $w$ mit [mm] $z=\frac{a-w}{1-\overline{a}w}$ [/mm] gefunden
Bleibt zu zeigen, dass [mm] $\frac{a-w}{1-\overline{a}w}\in [/mm] D$ ist, also dass [mm] $\left|\frac{a-w}{1-\overline{a}w}\right|<1$ [/mm] ist ...
LG
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:38 Mi 22.04.2009 | | Autor: | ella87 |
jup. Bis dahin ist klar. aber dann... wie berechne ich denn den Betrag davon?
Normal gilt doch: [mm]\left| z \right|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] für [mm] z=a+ib[/mm].
Ich kann aber den Bruch nicht in Real- und Imaginärteil trennen.
Muss man das oder geht da irgendwie anders? Ich muss mich irgendwie erstman an die komplexen Zahlen gewöhnen...
(Danke für die Geduld!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 24.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:47 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Siehe auch hier.
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