Einheitsgruppen von \IZ(i) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Gauss'sche Zahlen Ring [mm] \IZ [/mm] (i) ist definiert durch
[mm] \IZ [/mm] (i): = [mm] \{x + iy \in \IC : x,y \in \IZ\}
[/mm]
mit den Operationen + und * von den komplexen Zahlen. Bestimmen Sie die Einheitsgruppe [mm] \IZ(i) [/mm] *. |
Hallo zusammen,
jetzt habe ich endlich begriffen, was Einheitsgruppen sind.
Und habe per Definition gefunden, dass die Einheitsgruppen für den Gauss'sche Zahlen Ring 1, -1 und i, -i sind.
Nun ich muss irgendwie eine Herleitung anbringen.
Bin nun seit 3h am probieren, komme aber einfach auf keine schlaue Lösung.
Hat jemand einen Tipp?
Wäre ja ähnlich wie der Ring [mm] (\IZ, [/mm] +, *)
1 * 1 = 1
-1 * -1 = 1
so ist die [mm] \IZ [/mm] *: = [mm] \{1,-1\}
[/mm]
Vielen lieben Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn du eine komplexe Zahl (a,b) hast, dann ist ihr multiplikativ Inverses [mm] (\bruch{a}{a^2+b^2},\bruch{-b}{a^2+b^2}).
[/mm]
Da wir im Gauss'schen Zahlenring sind, müssen die Komponenten ganze Zahlen sein... jetzt sollte es klar sein.
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Vielen lieben Dank für die prompte Antowort.
Leider verstehe ich es doch nicht :-(.
Hättest Du noch einen anderen Tipp.
Merci
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Du musst alle ganzen Zahlen a und b finde, so dass [mm] \bruch{a}{a^2+b^2} [/mm] und [mm] \bruch{-b}{a^2+b^2} [/mm] ebenfalls ganze Zahlen sind.
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Hallo zusammen,
sitze jetzt schon über 2h an derselben Aufgabe und komme einfach nicht weiter:
Also zuerst einmal habe ich hergeleitet:
von einer Gauss'schen Zahl (a + bi) ist das inverse Element [mm] \bruch{a - bi}{a^2+b^2}
[/mm]
d.h. von a (dem Realteil der Komplexen Zahl) ist der Inverseteil [mm] \bruch{a}{a^2+b^2} [/mm] und von b (dem Imaginärteil der Komplexen Zahl) ist der Inverseteil [mm] \bruch{-b}{a^2+b^2}.
[/mm]
Nun muss ich jetzt weil es für die Gauss'schen Zahlen sind, a und b, und deren Inversenteile so wählen, dass es Ganze Zahlen sind.
Gut diese ist mir alles logisch!
Die Lösung der Aufgabe habe ich ja bereits im Netzt gefunden, d.h. es sind die Einheiten 1, -1, i und -i
Jetzt habe ich versucht folgendes zu machen:
a = 1
und
[mm] \bruch{1}{1^2+1^2}=\bruch{1}{2} [/mm]
b= 1
und
[mm] \bruch{1}{1^2+1^2}=\bruch{1}{2} [/mm]
Und dann komme ich nicht mehr weiter....weil [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist ja keine Ganze Zahl.
Kann mir jemand auf den Sprung helfen? Und mir zeigen was ich falsch überlege?
Vielen lieben Dank
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Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> sitze jetzt schon über 2h an derselben Aufgabe und komme
> einfach nicht weiter:
>
> Also zuerst einmal habe ich hergeleitet:
>
> von einer Gauss'schen Zahl (a + bi) ist das inverse Element
> [mm]\bruch{a - bi}{a^2+b^2}[/mm]
>
> d.h. von a (dem Realteil der Komplexen Zahl) ist der
> Inverseteil [mm]\bruch{a}{a^2+b^2}[/mm] und von b (dem Imaginärteil
> der Komplexen Zahl) ist der Inverseteil
> [mm]\bruch{-b}{a^2+b^2}.[/mm]
>
> Nun muss ich jetzt weil es für die Gauss'schen Zahlen sind,
> a und b, und deren Inversenteile so wählen, dass es Ganze
> Zahlen sind.
>
> Gut diese ist mir alles logisch!
>
> Die Lösung der Aufgabe habe ich ja bereits im Netzt
> gefunden, d.h. es sind die Einheiten 1, -1, i und -i
>
> Jetzt habe ich versucht folgendes zu machen:
>
> a = 1 UND b=0 !!
Nein, die Einheiten sind ja [mm] $z=1=1+0\cdot{}i, z=-1=-1+0\cdot{}i, z=i=0+1\cdot{}i$ [/mm] und [mm] $z=-i=0+(-1)\cdot{}i$
[/mm]
Also [mm] $a=1\wedge [/mm] b=0$ bzw. [mm] $a=-1\wedge [/mm] b=0$ bzw. [mm] $a=0\wedge [/mm] b=1$ bzw. [mm] $a=0\wedge [/mm] b=-1$
Damit klappt's
> und
> [mm]\bruch{1}{1^2+1^2}=\bruch{1}{2}[/mm]
Hier hast du [mm] $z=1\pm 1\cdot{}i$ [/mm] eingesetzt, die zweite [mm] 1^2 [/mm] im Nenner ist also falsch!
>
> b= 1
> und
> [mm]\bruch{1}{1^2+1^2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Und dann komme ich nicht mehr weiter....weil [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> ist ja keine Ganze Zahl.
>
> Kann mir jemand auf den Sprung helfen? Und mir zeigen was
> ich falsch überlege?
siehe oben, du hat die Einheiten falsch "gedeutet"
>
>
> Vielen lieben Dank
>
LG
schachuzipus
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wow logisch!
jetzt ist alles klar! mann, hab' ich da jetzt lange daran gebraucht, dabei wäre es so einfach 
trotzdem noch eine kleine frage:
als lösungsmenge der einheiten der gauss'schen zahlen würdest du aber trotzdem so schreiben:
[mm] \IZ(i) [/mm] * = [mm] \{-1,1,-i,i\}
[/mm]
????
Danke dir
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Hallo nochmal,
> wow logisch!
> jetzt ist alles klar! mann, hab' ich da jetzt lange daran
> gebraucht, dabei wäre es so einfach
>
> trotzdem noch eine kleine frage:
>
> als lösungsmenge der einheiten der gauss'schen zahlen
> würdest du aber trotzdem so schreiben:
>
> [mm]\IZ(i)[/mm] * = [mm]\{-1,1,-i,i\}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
klar, warum nicht? Das ist ja nur die "Kurzform" für [mm] $-1+0\cdot{}i$ [/mm] usw.
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> ????
>
> Danke dir
LG
schachuzipus
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wow jetzt fühle ich mich richtig schlau! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
DANKE DIR
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