Einheitengruppe Polynomring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 So 12.10.2014 | | Autor: | Picard |
Hallo,
laut meinem Script beinhaltet die Einheitengruppe vom Ring [mm] (\IK[T],+,*) [/mm] genau die Polynome deren Grad gleich null ist.
D.h. doch, alle konstanten Polynome sind invertierbar. Oder?
Beispiel: p=3 das inverse dazu wäre dann q=1/3, also p*q=1. Sehe ich das richtig?
Wenn ich nun aber [mm] p=x^{2}+1 [/mm] habe warum ist [mm] q=\bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] kein inverses Element? Mir ist klar, dass q kein konstantes Polynom ist, aber warum kann es kein inverses Element sein? Ist es vielleicht kein Polynom, sprich ist es kein Element aus [mm] \IK[T], [/mm] woran erkenne ich das?
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Picard
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Hallo,
> Hallo,
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> laut meinem Script beinhaltet die Einheitengruppe vom Ring
> [mm](\IK[T],+,*)[/mm] genau die Polynome deren Grad gleich null
> ist.
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> D.h. doch, alle konstanten Polynome sind invertierbar.
> Oder?
> Beispiel: p=3 das inverse dazu wäre dann q=1/3, also
> p*q=1. Sehe ich das richtig?
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> Wenn ich nun aber [mm]p=x^{2}+1[/mm] habe warum ist
> [mm]q=\bruch{1}{x^{2}+1}[/mm] kein inverses Element?
Du musst zunächst einmal klarstellen, was hiermit gemeint ist. Ist nämlich $ a $ ein Element eines Ringes, so meint man mit $ 1/a $ üblicherweise dessen Inverses. Die Schreibweise setzt also voraus, dass die Invertierbarkeit von $ [mm] x^2+1$ [/mm] schon bekannt ist, was ja nicht der Fall ist.
> Mir ist klar,
> dass q kein konstantes Polynom ist, aber warum kann es kein
> inverses Element sein? Ist es vielleicht kein Polynom,
> sprich ist es kein Element aus [mm]\IK[T],[/mm] woran erkenne ich
> das?
Zum Beweis der Aussage betrachte die Grade. Nimm an, du hättest ein Inverses eines Nichtkonstanten Polynoms. Wieso muss das Produkt der beiden Polynome dann Grad $> 0$ haben? Wieso kann es also nicht $1$ sein?
> Danke für eure Hilfe.
>
> Gruß
> Picard
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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