www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Einheiten im endl. Körper
Einheiten im endl. Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Einheiten im endl. Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Mo 22.05.2006
Autor: ps4c7

Aufgabe
Sei A=K[t] der Polynomring, [mm] g=t^{m} [/mm] mit m>1 und [mm] A_{g}^{\*} [/mm] die Einheitengruppe von [mm] A_{g}. [/mm] Wie viele Elemente hat [mm] A_{g}^{\*}, [/mm] wenn K ein endlicher Körper mit q Elementen ist?

Ich komme hier echt nicht weiter, wäre für jede Hilfe dankbar.
MfG Patrick

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mo 22.05.2006
Autor: felixf

Hallo Patrick!

> Sei A=K[t] der Polynomring, [mm]g=t^{m}[/mm] mit m>1 und [mm]A_{g}^{\*}[/mm] die Einheitengruppe von [mm]A_{g}.[/mm] Wie viele Elemente hat [mm]A_{g}^{\*},[/mm] wenn K ein endlicher Körper mit q Elementen ist?
>  Ich komme hier echt nicht weiter, wäre für jede Hilfe dankbar.

Beantworte doch mal folgende Punkte:
- Was ist [mm] $A_g$ [/mm] ueberhaupt? Wie sehen die Elemente aus?
- Wieviele Elemente hat [mm] $A_g$ [/mm] insgesamt?
- Welche Elemente sind Einheiten (mach das erstmal fuer ein allgemeines $g$, und dann fuer das spezielle hier).
- Wieviele Einheiten gibt es nun?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Mo 22.05.2006
Autor: ps4c7

- [mm] A_{g} [/mm] ist der Restklassenring. In je einem Element von [mm] A_{g} [/mm] (wobei die Elemente jeweils eine Menge sind), z.B. [mm] \overline{a} [/mm] sind all die [mm] x\in [/mm] A die beim Teilen durch g den Rest a lassen (x=qg+a).
- [mm] A_{g} [/mm] hat [mm] q^{m} [/mm] Elemente
- Alle [mm] \overline{a} [/mm] für die ein [mm] \overline{b} [/mm] mit [mm] b\in [/mm] A existiert, sodass [mm] \overline{a} \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{1}. [/mm] Daraus folgt: [mm] ab-1\in [/mm] Ag

Es gibt auf jeden Fall q-1 Einheiten, nämlich die aus K. Und maximal [mm] q^{m}-1. [/mm] Weiter komm ich im Moment leider nicht.

Bezug
                        
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Mo 22.05.2006
Autor: felixf

Hallo!

> - [mm]A_{g}[/mm] ist der Restklassenring. In je einem Element von
> [mm]A_{g}[/mm] (wobei die Elemente jeweils eine Menge sind), z.B.
> [mm]\overline{a}[/mm] sind all die [mm]x\in[/mm] A die beim Teilen durch g
> den Rest a lassen (x=qg+a).

Genau.

>  - [mm]A_{g}[/mm] hat [mm]q^{m}[/mm] Elemente

Genau.

>  - Alle [mm]\overline{a}[/mm] für die ein [mm]\overline{b}[/mm] mit [mm]b\in[/mm] A
> existiert, sodass [mm]\overline{a} \overline{b}[/mm] = [mm]\overline{1}.[/mm]
> Daraus folgt: [mm]ab-1\in[/mm] Ag

Das stimmt. Das hilft dir allerdings nicht so viel :-) Kennst du denn nicht ein allgemeines Kriterium, wann [mm] $\overline{f}$ [/mm] in [mm] $A_g$ [/mm] invertierbar ist? Sowas mit `teilerfremd'?

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:30 Mo 22.05.2006
Autor: herojoker

Hallo!

Ich kenne den Fragensteller auch und wir saßen gemeinsam vorhin am Problem. Daher mich bitte nicht als jemanden verurteilen, der alles verrät :D Ich sitze ja auch noch am Problem :)

Erinnerung: [mm] A = K[t] [/mm]

> Kennst du denn nicht ein allgemeines Kriterium,
> wann $ [mm] \overline{f} [/mm] $ in $ [mm] A_g [/mm] $ invertierbar ist?
> Sowas mit 'teilerfremd'?

Wir haben folgende Chakterisierung für Hauptidealringe (und hier liegt ja einer vor, da K Körper und somit [mm] A=K[t] [/mm] Hauptidealring):

[mm] a \in A_{g}^{\*} \gdw ggT(a,g) \subseteq A^{\*} [/mm]

Also gdw. jeder ggT eine Einheit aus A ist.
Mit [mm] S := \{ f \in A : Grad f < m \} [/mm] als Repräsentantensystem für A modulo g müssen wir also nur noch die a [mm] \in [/mm] S zählen für die ein ggT(a,g) eine Einheit ist (alle anderen ggT sind ja dann zum gefundenen assoziiert und damit auch Einheiten aus A). Da S ein Repräsentantensystem ist müsste die Anzahl der gesuchten [mm] \overline{a} \in A_{g}^{\*} [/mm] gleich die Anzahl der gefundenen Polynome sein (Knackpunkt?!)

Sei nun [mm] a = a_{m-1}t^{m-1} + ... + a_{1}t + a_{0} [/mm] so ein Polynom.
Angenommen [mm] a_{0} [/mm] = 0, dann wäre t ein ggT von a und g, da aber t [mm] \not\in A^{\*} [/mm] folgt ein Widerspruch.
Meine Vermutung ist nun, dass alle(!) Polynome in S für die [mm] a_{0} \not= [/mm] 0 die gesuchten sind. Man müsste wohl nun mal den euklidischen Algorithmus auf eben diese a und das g anwenden um zu sehen was der ggT ist und ich schätze, dass immer (also für alle betrachteten Körper K) ein Element aus [mm] K \setminus \{0\} [/mm] herauskommt.

Gruß
Hero

Bezug
                                        
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Di 23.05.2006
Autor: felixf

Moin Hero und Patrick!

Ah, eine Quebbemann-Aufgabe, wie schoen :-)

> Erinnerung: [mm]A = K[t][/mm]
>  
> > Kennst du denn nicht ein allgemeines Kriterium,
>  > wann [mm]\overline{f}[/mm] in [mm]A_g[/mm] invertierbar ist?

>  > Sowas mit 'teilerfremd'?

>  
> Wir haben folgende Chakterisierung für Hauptidealringe (und hier liegt ja einer vor, da K Körper und somit [mm]A=K[t][/mm] Hauptidealring):
>  
> [mm]a \in A_{g}^{\*} \gdw ggT(a,g) \subseteq A^{\*}[/mm]
>  
> Also gdw. jeder ggT eine Einheit aus A ist.

Genau.

>  Mit [mm]S := \{ f \in A : Grad f < m \}[/mm] als Repräsentantensystem für A modulo g müssen wir also nur noch die a [mm]\in[/mm] S zählen für die ein ggT(a,g) eine Einheit ist (alle anderen ggT sind ja dann zum gefundenen assoziiert und damit auch Einheiten aus A). Da S ein Repräsentantensystem ist müsste die Anzahl der gesuchten [mm]\overline{a} \in A_{g}^{\*}[/mm] gleich die Anzahl der gefundenen Polynome sein (Knackpunkt?!)

Genau, so ist es.

> Sei nun [mm]a = a_{m-1}t^{m-1} + ... + a_{1}t + a_{0}[/mm] so ein Polynom.
>  Angenommen [mm]a_{0}[/mm] = 0, dann wäre t ein ggT von a und g, da aber t [mm]\not\in A^{\*}[/mm] folgt ein Widerspruch.

Exakt.

>  Meine Vermutung ist nun, dass alle(!) Polynome in S für die [mm]a_{0} \not=[/mm] 0 die gesuchten sind. Man müsste wohl nun mal den euklidischen Algorithmus auf eben diese a und das g anwenden um zu sehen was der ggT ist und ich schätze, dass immer (also für alle betrachteten Körper K) ein Element aus [mm]K \setminus \{0\}[/mm] herauskommt.

Hattet ihr schon die Primfaktorzerlegung fuer Hauptidealringe (also dass HIBs faktoriell sind)? Dann kann man so argumentieren: Der Primfaktor $t$ teilt sowohl [mm] $t^n$ [/mm] als auch alle Polynome mit [mm] $a_0 [/mm] = 0$. (Daraus folgt sogar, dass genau die Polynome nicht teilerfremd zu [mm] $t^n$ [/mm] sind, welche [mm] $a_0 [/mm] = 0$ haben.)

Der Ring [mm] $A_g$ [/mm] ist uebrigens von ganz spezieller Form: er ist lokal, d.h. er hat genau ein maximales Ideal (naemlich [mm] $A_g \setminus A_g^*$) [/mm] und die Summe zweier Nicht-Einheiten ist wieder eine Nicht-Einheit. Und jede Nicht-Einheit ist bereits nilpotent (also zu jedem $a [mm] \in A_g \setminus A_g^*$ [/mm] gibt es ein $k > 0$ mit [mm] $a^k [/mm] = 0$).

LG Felix
(ein ex-Oldenburger)


Bezug
                                                
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:44 Di 23.05.2006
Autor: herojoker

Hallo!


> Ah, eine Quebbemann-Aufgabe, wie schoen :-)

Ja! Das stimmt :) Du kennst die Aufgabe noch? Ist ja lustig.. :D

> >  [ Vermutung: [mm] a_{0} \not= 0 \gdw ggT(a,g) Einheit[/mm]

> Hattet ihr schon [...] dass HIRe faktoriell sind?

Ja!


> Dann kann man so argumentieren:
> Der Primfaktor [mm]t[/mm] teilt sowohl [mm]t^n[/mm] als
> auch alle Polynome mit [mm]a_0 = 0[/mm].

Das habe ich inzwischen auch gesehen.


> (Daraus folgt sogar, dass genau die Polynome nicht teilerfremd zu
> [mm]t^n[/mm] sind, welche [mm]a_0 = 0[/mm] haben.)

Das "genau" ist der schwieriger Punkt.
Dass aus [mm] a_{0} [/mm] = 0 folgt a und [mm] t^m [/mm] sind nicht teilerfremd ist klar. Aber wir brauchen ja eine Äquivalenz, oder? Also muss noch gezeigt werden, dass aus der nicht-Teilerfremdheit von a und [mm] t^m [/mm] auch folgt, dass [mm] a_{0} [/mm] = 0 ist.
Oder anders: Noch zu zeigen ist, dass [mm] a_{0} \not= 0 \Rightarrow ggT(a,g) [/mm] sind Einheiten.

Ok, nehmen wir an die d aus ggT(a,g) wären keine Einheiten. Dann gäbe es eben eine eindeutige Zerlegung in Primelemente und da wir ja mit einem Hauptidealring auch einen faktoriellen Ring haben, lässt sich sogar d als Produkt endlich vieler irreduzibler Elemente schreiben.
Entweder ist nun d schon irreduzibel oder es lässt sich noch zerlegen.
Und weiter?

Gruß
Hero

Bezug
                                                
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:50 Di 23.05.2006
Autor: herojoker

Eventuell kommt ja auch mit Aa + Ag = Ad weiter?
Also nehme an [mm] a_0 [/mm] = 0 und folgere Ad = A (also d eine Einheit).

Gruß
Hero

Bezug
                                                
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:31 Di 23.05.2006
Autor: herojoker

Man kann wohl auch einfacher Aussagen über [mm] t^m [/mm] machen:
[mm] t^m [/mm] lässt sich als ein Produkt von vielen e*t mit [mm] e\in [/mm] K[t][mm] \setminus\{0\} [/mm] darstellen. Da K[t] faktoriell ist, ist diese Zerlegung bis auf Einheiten und Sortierung eindeutig.
Teiler sind also nur diese et. Wenn man nun zeigt, dass et niemals jene a mit [mm] a_0 [/mm] = 1 teilt, ist man fertig, dann dann muss der ggT ja schon eine Einheit sein!

Angenommen et | a , dann gibt es c [mm] \in [/mm] K[t][mm] \setminus\{0\} [/mm] so, dass
a = cet =: d. Da aber K ein Körper ist, ist K und auch K[t] nullteilerfrei. Also ist insbesondere dann aber [mm] d_0 [/mm] = 0  -> Widerspruch!
Gibt es keine nicht-Einheiten-Element, dass sowohl [mm] t^m [/mm] als auch besagtes a teilt.

Richtig?

Gruß
Hero

Bezug
                                                        
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:33 Di 23.05.2006
Autor: felixf

Hallo Hero!

Du machst das ganze viel zu kompliziert! Also [mm] $t^m$ [/mm] ist ja das $m$-fache Produkt des Primelementes $t$ mit sich selbst. Also ist [mm] $t^m$ [/mm] bereits die Primfaktorzerlegung von [mm] $t^m$. [/mm]

Fuer ein beliebiges Polynom $f [mm] \in [/mm] K[t]$ tritt also genau einer der folgenden Faelle ein:
1) $ggT(f, [mm] t^m) [/mm] = K^*$;
2) $ggT(f, [mm] t^m)$ [/mm] enthaelt das von $t$ erzeugte Ideal.

Und zweiteres ist genau dann der Fall, wenn $f$ durch $t$ geteilt wird, also wenn $f(0) = 0$ ist.

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:06 Di 23.05.2006
Autor: herojoker

Hallo!

> Du machst das ganze viel zu kompliziert!
> Also [mm]t^m[/mm] ist ja das [mm]m[/mm]-fache Produkt
> des Primelementes [mm]t[/mm] mit sich selbst. Also ist [mm]t^m[/mm]
> bereits die Primfaktorzerlegung von [mm]t^m[/mm].

Ja, eine Primfaktorzerlegung. Sie ist ja nur bis auf Einheiten eindeutig. Aber es stimmt schon, wenn t ein f [mm] \in [/mm] K[t] teilt, dann teilt auch et das f und umgekehrt.


> Fuer ein beliebiges Polynom f [mm] \in [/mm] K[t] tritt
> also genau einer der folgenden Faelle ein:
>   1) [mm]ggT(f, t^m) = K^*[/mm]

Also genau dann wenn t unser f nicht teilt.


>   2) [mm]ggT(f, t^m)[/mm] enthaelt das von [mm]t[/mm] erzeugte Ideal.

Genau dann wenn t unser f teilt.
Dann gilt t | f und t | g  und mit einer Eigenschaft des ggT folgt für jedes d aus der Menge der ggT: d | t , also At [mm] \subseteq [/mm] Ad (du meintest wohl Ad und nicht ggT(f, [mm] t^m) [/mm] oder?).

So ähnlich (nicht die idealtheoretische Formulierung) habe ich es aber auch schon aufgeschrieben :)

Viele Grüße
Hero

Bezug
                                                                        
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Di 23.05.2006
Autor: felixf

Hallo Hero!

> > Du machst das ganze viel zu kompliziert!
>  > Also [mm]t^m[/mm] ist ja das [mm]m[/mm]-fache Produkt

>  > des Primelementes [mm]t[/mm] mit sich selbst. Also ist [mm]t^m[/mm]

>  > bereits die Primfaktorzerlegung von [mm]t^m[/mm].

>  
> Ja, eine Primfaktorzerlegung. Sie ist ja nur bis auf
> Einheiten eindeutig. Aber es stimmt schon, wenn t ein f [mm]\in[/mm]
> K[t] teilt, dann teilt auch et das f und umgekehrt.

Genau :) Und weil es bei Teilbarkeit nicht auf Einheiten ankommt ignoriert man sie meistens ;) Viele Leute reden auch von dem groessten gemeinsamen Teiler, wohlwissend das er nicht eindeutig ist.

> >   2) [mm]ggT(f, t^m)[/mm] enthaelt das von [mm]t[/mm] erzeugte Ideal.

>  
> Genau dann wenn t unser f teilt.
>  Dann gilt t | f und t | g  und mit einer Eigenschaft des ggT folgt für jedes d aus der Menge der ggT: d | t , also At [mm]\subseteq[/mm] Ad (du meintest wohl Ad und nicht ggT(f, [mm]t^m)[/mm] oder?).

Ich meinte das vom ggT erzeugte Ideal :) Was genau $A d$ ist...

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Einheiten im endl. Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Mo 22.05.2006
Autor: ps4c7

Ach ja, [mm] A_{g} [/mm] folgendermaßen definiert: [mm] A_{g}:=A/Ag [/mm] (also Restklasse)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]