Einheiten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Do 05.06.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Man kann zeigen: In [mm] \IZ [\wurzel{k}] [/mm] ist ein Element r=u+v [mm] \wurzel{k} [/mm] genau dann eine Einheit, wenn (u+v [mm] \wurzel{k}) [/mm] (u-v [mm] \wurzel{k}) [/mm] = u²-kv²= [mm] \pm1.
[/mm]
Bestimmen Sie unter Berücksichtigung dieser Tatsache Einheiten in [mm] \IZ [\wurzel{-1}, \IZ [\wurzel{-5}] [/mm] , [mm] \IZ [\wurzel{26}] [/mm] . |
ich schreibe einfach mal grob meine bisherigen überlegungen und ergebnisse auf:
zu [mm] \wurzel{-1}: [/mm] u²-kv²=u²+v²= [mm] \pm1, [/mm] wegen u,v [mm] \in \IZ [/mm] folgt [mm] u²+v²\ge [/mm] 2 und damit u²+v² [mm] \not= \pm1. [/mm] folglich existieren hier keine einheiten.
ähnlich verhält sich das dann in [mm] \wurzel{-5}....auch [/mm] hier gibt es keine einheiten.
[mm] \wurzel{26}: [/mm] u²=1+26v² wird zum bsp. erfüllt durch [mm] u=\pm51 [/mm] und [mm] v=\pm10.
[/mm]
u²=-1+26v² wird z.b. erfüllt durch [mm] u=\pm5 [/mm] und [mm] v=\pm1. [/mm]
damit wären hier bereits 8 einheiten gefunden
stimmt das so?
dank und gruß!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Fr 06.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man kann zeigen: In [mm]\IZ [\wurzel{k}][/mm] ist ein Element r=u+v
> [mm]\wurzel{k}[/mm] genau dann eine Einheit, wenn (u+v [mm]\wurzel{k})[/mm]
> (u-v [mm]\wurzel{k})[/mm] = u²-kv²= [mm]\pm1.[/mm]
> Bestimmen Sie unter Berücksichtigung dieser Tatsache
> Einheiten in [mm]\IZ [\wurzel{-1}, \IZ [\wurzel{-5}][/mm] , [mm]\IZ [\wurzel{26}][/mm]
> .
> ich schreibe einfach mal grob meine bisherigen
> überlegungen und ergebnisse auf:
> zu [mm]\wurzel{-1}:[/mm] u²-kv²=u²+v²= [mm]\pm1,[/mm] wegen u,v [mm]\in \IZ[/mm]
> folgt [mm]u²+v²\ge[/mm] 2 und damit u²+v² [mm]\not= \pm1.[/mm] folglich
> existieren hier keine einheiten.
Auch in [mm]\IZ [\wurzel{-1}][/mm] gilt: $1*1=1$. 1 ist immer eine Einheit.
Die Zahl 0 gehört auch zu [mm]\IZ[/mm] !
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Fr 06.06.2008 | | Autor: | jura |
ja klar, vielen dank!
für [mm] \IZ[\wurzel{-1}] [/mm] erhält man also die einheiten 1, -1, aber auch [mm] \wurzel{-1}, -\wurzel{-1}, [/mm] oder?
und für [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] 1, -1
die ergebnisse für [mm] \IZ[\wurzel{26}] [/mm] haben aber so gestimmt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Fr 06.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ja klar, vielen dank!
> für [mm]\IZ[\wurzel{-1}][/mm] erhält man also die einheiten 1, -1,
> aber auch [mm]\wurzel{-1}, -\wurzel{-1},[/mm] oder?
> und für [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm] 1, -1
> die ergebnisse für [mm]\IZ[\wurzel{26}][/mm] haben aber so
> gestimmt?
Die angegebenen Zahlen [mm] $\pm51\pm10\sqrt{26}$ [/mm] und [mm] $\pm 5\pm \sqrt{26}$ [/mm] erfüllen die Gleichgungen. Aber 1 und -1 sind für jedes k Einheiten.
Musst du alle Einheiten angeben oder nur überhaupt welche finden?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:24 Fr 06.06.2008 | | Autor: | jura |
also wenn ich die aufgabe genau lese, dann meiner meinung nach nur einige lösungen- wobei die einheiten, die wir für [mm] \IZ[\wurzel{-1}] [/mm] und [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] gefunden haben, ja bereits alle lösungen in den jeweiligen ringen (?) sein dürften, oder?
und damit habe ich die aufgabe ja nun eigentlich gelöst, oder!?
vielen dank nochmal an dich!
tschau
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Di 10.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
