Einfache Teilbarkeitsaufgabe < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Für [mm]4^n[/mm] gilt:
Falls [mm]n\equiv 1\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 4\pmod{9}[/mm]
Falls [mm]n\equiv 2\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 7\pmod{9}[/mm]
Falls [mm]n\equiv 0\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
Dann wiederholt sich der Rest zyklisch.
Für [mm]15n[/mm] gilt:
Falls [mm]n\equiv 1\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 6\pmod{9}[/mm]
Falls [mm]n\equiv 2\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 3\pmod{9}[/mm]
Falls [mm]n\equiv 0\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 0\pmod{9}[/mm]
Addieren wir die Reste für die einzelnen Fälle, so erhalten wir:
[mm]n\equiv 0\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
[mm]n\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
[mm]n\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
Da nun noch durch den Summanden [mm]-1[/mm] der Rest um eins verringert wird, ist der Term immer durch Neun teilbar, q.e.d.
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> Für [mm]4^n[/mm] gilt:
> Falls [mm]n\equiv 0\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 4\pmod{9}[/mm]
> Falls
> [mm]n\equiv 1\pmod{3}[/mm], dann [mm]4^n\equiv 7\pmod{9}[/mm]
> Falls [mm]n\equiv 2\pmod{3}[/mm],
> dann [mm]4^n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
> Dann wiederholt sich der Rest
> zyklisch.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für [mm]15n[/mm] gilt:
> Falls [mm]n\equiv 0\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 6\pmod{9}[/mm]
> Falls
> [mm]n\equiv 1\pmod{3}[/mm], dann [mm]15n\equiv 3\pmod{9}[/mm]
> Falls [mm]n\equiv 2\pmod{3}[/mm],
> dann [mm]15n\equiv 0\pmod{9}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier hast du einiges durcheinandergeworfen, vermutlich Schusseligkeit. 
Magst du es selber korrigieren?
> Addieren wir die Reste für die einzelnen Fälle, so erhalten
> wir:
> [mm]n\equiv 0\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
>
> [mm]n\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
>
> [mm]n\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow 4^n+15n\equiv 1\pmod{9}[/mm]
>
> Da nun noch durch den Summanden [mm]-1[/mm] der Rest um eins
> verringert wird, ist der Term immer durch Neun teilbar,
> q.e.d.
Sehr schön gemacht!! ![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]") Wenn du deine Fehler oben noch verbessert, lasse ich das als Musterlösung so stehen (auch wenn ich es selber anders gerechnet habe).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Sorry, habe nur die Reste verdreht.
Ich änder's ab.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Jetzt stimmt es, sehr gut!
Sehr elegant, deine Lösung!! 
(Gefällt mir eigentlich besser als die von Jan und mir. Auch wenn sich hier, rein formal (das habe ich Fermat gerade auch bestätigt) eine Induktion einfach anbietet.)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Fr 27.08.2004 | | Autor: | zzm |
Loesungsvorschlag mit 2x vollstaendiger Induktion:
[mm]A(n)=4^n +15n-1[/mm]
I.V.: [mm]n=1[/mm]: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]4^1 +15\*1 -1=18[/mm], also korrekt.
I.S.: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]A(n+1) - A(n)[/mm], also
[mm]9[/mm] [teilt] [mm]4^{n+1} +15(n+1)-1 - (4^n +15n-1)=4^{n+1} - 4^n +15=(4-1)*4^n +15= 3* 4^n +15 [/mm]
Nun zeige ich wieder auf die gleiche Weise mit v.I.:
[mm]9[/mm] teilt [mm]B(n)=3* 4^n +15[/mm]:
I.V.: [mm]n=1[/mm]: [mm]9[/mm] teilt [mm](12 +15)[/mm], das ist korrekt
I.S.: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]B(n+1) - B(n)[/mm], also
[mm]9[/mm] [teilt] [mm]3* 4^{n+1} +15 - (3* 4^n +15)= 3*(4^{n+1}-4^n)=3*(3*(4^n)=9*4^n [/mm], das ist offensichtlich richtig, somit teilt 9 immer B(n) und daraus folgt, dass 9 auch immer A(n) teilt.
Ich hoffe mal ich hab kein Fehler gemacht.
(Auf diese Weise sieht man glaub ich, dass alle [mm]3^x[/mm] Teiler von A(n) sind, solange dass n von A(n) gross genug ist)
Gruss,
zzm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zzm!
Falls du neu hier bist (ich glaube ja ): ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Eine sehr schöne Lösung! Sie ist meiner sehr ähnlich.
> Loesungsvorschlag mit 2x vollstaendiger Induktion:
> [mm]A(n)=4^n +15n-1[/mm]
>
> I.V.: [mm]n=1[/mm]: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]4^1 +15\*1 -1=18[/mm], also korrekt.
> I.S.: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]A(n+1) - A(n)[/mm], also
> [mm]9[/mm] [teilt] [mm]4^{n+1} +15(n+1)-1 - (4^n +15n-1)=4^{n+1} - 4^n +15=(4-1)*4^n +15= 3* 4^n +15[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bis dahin habe ich alles genauso gemacht. Jetzt kannst du aber schneller wie folgt argumentieren:
$3 [mm] \cdot 4^n [/mm] + 15 = [mm] 3\cdot (4^n [/mm] +5)$
und es gilt:
[mm] $4^n [/mm] + 5 [mm] \equiv 1^n [/mm] +2 [mm] \equiv [/mm] 1+2 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$,
[/mm]
also:
[mm] $3\, \vert\, (4^n+5)$
[/mm]
und damit:
$9 [mm] \, \vert\, (3\cdot 4^n [/mm] + 15)$.
Aber das hier...
> Nun zeige ich wieder auf die gleiche Weise mit v.I.:
> [mm]9[/mm] teilt [mm]B(n)=3* 4^n +15[/mm]:
> I.V.: [mm]n=1[/mm]: [mm]9[/mm] teilt [mm](12 +15)[/mm], das
> ist korrekt
> I.S.: [mm]9[/mm] [teilt] [mm]B(n+1) - B(n)[/mm], also
> [mm]9[/mm] [teilt] [mm]3* 4^{n+1} +15 - (3* 4^n +15)= 3*(4^{n+1}-4^n)=3*(3*(4^n)=9*4^n [/mm],
> das ist offensichtlich richtig, somit teilt 9 immer B(n)
> und daraus folgt, dass 9 auch immer A(n) teilt.
> Ich hoffe mal ich hab kein Fehler gemacht.
> (Auf diese Weise sieht man glaub ich, dass alle [mm]3^x[/mm] Teiler
> von A(n) sind, solange dass n von A(n) gross genug ist)
ist auch richtig!!
Super gemacht!! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]") ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Liebe grüße
Stefan
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Hi Leute,
ich dürfte ja mittlerweile hier als Induktivist bekannst sein, also ...
Naja, dieses Beispiel ist doch geradezu prädestiniert zur Beweisführung durch Induktion.
Gruß
Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Alex!
> Naja, dieses Beispiel ist doch geradezu prädestiniert zur
> Beweisführung durch Induktion.
Ja, das stimmt, in diesem Fall gebe ich dir recht.
Das hat zzm ja auch sehr schön gemacht.
Liebe Grüße
Stefan
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