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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 So 02.11.2008 | | Autor: | sefking |
| Aufgabe | Das gleichseitige Dreieck ABC (Fig.3) mit der Seitenlänge 3 cm wird längs
[mm] \bar DE [/mm] so gefaltet, dass das Dreieck DBE senkrecht zum ursprünglichen Dreieck steht (Fig.4). Verbindet man B mit A und C, so entsteht eine Pyramide. Für welche Streckenlänge x wir das Volumen dieser Pyramide maximal?
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo MatheRaum Freunde,
Ich bin neu in diesem Forum angemeldet und hoffe, dass ich die Aufgabenstellung den Regeln entsprechend richtig abgetippt habe.
Jetzt komme ich zu meiner Frage.
Ich bin lediglich auf den Ansatz gekommen, dass man bei der Pyramide die Formel: [mm] V= \bruch {g \cdot h}{3} [/mm] benötigt und dass die Formel von der Streckenlänge x abhängig ist. Also lautet die Formel dann:
[mm] V(x)= \bruch {g(x) \cdot h(x)}{3} [/mm].
Leider weiß ich nicht, wie ich weiter rechnen soll.
Ich wäre über eine Idee eurerseits sehr dankbar.
P.S.:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 So 02.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Betrachte erstmal die Höhe der Pyramide:
Für die Strecke [mm] \overline{CE} [/mm] gilt [mm] \overline{CE}=\overline{AC}-x, [/mm] da [mm] |\overline{AC}|=3 [/mm] gilt: [mm] |\overline{CE}|=3-x
[/mm]
Das ist dann, wenn die die Zeichnung richtig deute, die Höhe der Pyramide, wenn du als Grundfläche das gelbe Dreieck nimmst.
Also gilt für das Volumen der Pyramide [mm] V=\bruch{1}{3}A_{Dreieck}*(3-x)
[/mm]
Bleibt, das gelbe Dreieck zu ermitteln.
Da das gelbe Dreieck BDE gleichseitig ist (Warum?), gilt [mm] h_{gelb}=\bruch{x*\wurzel{3}}{2}
[/mm]
(In einem Gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a gilt: [mm] h=\bruch{a*\wurzel{3}}{2})
[/mm]
Also gilt für die Fläche des gelben Dreiecks:
[mm] A=\bruch{1}{2}*x*\bruch{x*\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Also gilt für das Volumen der Pyramide
[mm] V_{Pyramide}(x)=\bruch{\overbrace{\bruch{1}{2}*x*\bruch{x*\wurzel{3}}{2}}^{A_{Dreieck}}*\overbrace{(3-x)}^{h_{Pyramide}}}{3}
[/mm]
Jetzt hast du eine Volumenformel, die du noch ein wenig vereinfachen solltest, bevor du das Maximum bestimmst..
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 12.10.2010 | | Autor: | Schobbi |
Guten Abend!
Ich habe bei obiger Aufgabe ebenfalls ein Problem und vielleicht könnt ihr mir bei meiner Verständnisfrage helfen. Danke schon mal im Vorraus.
Den von M.Rex beschriebenen Ansatz kann ich zwar wunderbar nachvollziehen, doch irgendwie fehlt mir die Anschaung, warum ich als Grundfläche der Pyramide ein Dreieck annehmen kann. Ich stelle mir da ein Trepez vor.
Somit ergibt sich dann bei mir:
[mm] V=\bruch{1}{3}*A_{Trepez}*h_{gelbes Dreieck}
[/mm]
[mm] A_{Trapez}=\bruch{3+x}{2}*h_{Trapez}
[/mm]
[mm] h_{gelbes Dreieck}=\bruch{\wurzel{3}}{2}x
[/mm]
[mm] h_{gesamtes Dreieck}=\bruch{3*\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] h_{Trapez}=h_{gesamtes Dreieck}-h_{gelbes Dreieck}
[/mm]
[mm] h_{Trapez}=\bruch{3*\wurzel{3}}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}x
[/mm]
[mm] A_{Trapez}=\bruch{3+x}{2}*(\bruch{3*\wurzel{3}}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}x)
[/mm]
[mm] V=\bruch{1}{3}*(\bruch{3+x}{2}*(\bruch{3*\wurzel{3}}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}x))*(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)
[/mm]
Nach einigen Termumformungen (in die sich hoffentlich nicht der Fehlerteufel eingeschlichen hat) komm ich dann zu folgender Funktion:
[mm] V(x)=\bruch{1}{24}*(27+9x-9x^2-3x^3) \to [/mm] Max
von der ich nun nur noch das Maximum bestimmen muss.
Natürlich ist die Funktion von M.Rex wesentlich einfacher und auch übersichtlicher jedoch ist mir nicht klar geworden warum ich als Grundfläche das Dreieck nehmen kann/darf.
Euch noch einen schönen Abend
Schobbi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Di 12.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend!
> Ich habe bei obiger Aufgabe ebenfalls ein Problem und
> vielleicht könnt ihr mir bei meiner Verständnisfrage
> helfen. Danke schon mal im Vorraus.
>
> Den von M.Rex beschriebenen Ansatz kann ich zwar wunderbar
> nachvollziehen, doch irgendwie fehlt mir die Anschaung,
> warum ich als Grundfläche der Pyramide ein Dreieck
> annehmen kann. Ich stelle mir da ein Trepez vor.
Womit du recht hast.
Gruß Abakus
>
> Somit ergibt sich dann bei mir:
> [mm]V=\bruch{1}{3}*A_{Trepez}*h_{gelbes Dreieck}[/mm]
>
> [mm]A_{Trapez}=\bruch{3+x}{2}*h_{Trapez}[/mm]
> [mm]h_{gelbes Dreieck}=\bruch{\wurzel{3}}{2}x[/mm]
>
> [mm]h_{gesamtes Dreieck}=\bruch{3*\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> [mm]h_{Trapez}=h_{gesamtes Dreieck}-h_{gelbes Dreieck}[/mm]
>
> [mm]h_{Trapez}=\bruch{3*\wurzel{3}}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}x[/mm]
>
> [mm]A_{Trapez}=\bruch{3+x}{2}*(\bruch{3*\wurzel{3}}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}x)[/mm]
>
> [mm]V=\bruch{1}{3}*(\bruch{3+x}{2}*(\bruch{3*\wurzel{3}}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}x))*(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)[/mm]
>
> Nach einigen Termumformungen (in die sich hoffentlich nicht
> der Fehlerteufel eingeschlichen hat) komm ich dann zu
> folgender Funktion:
>
> [mm]V(x)=\bruch{1}{24}*(27+9x-9x^2-3x^3) \to[/mm] Max
>
> von der ich nun nur noch das Maximum bestimmen muss.
>
> Natürlich ist die Funktion von M.Rex wesentlich einfacher
> und auch übersichtlicher jedoch ist mir nicht klar
> geworden warum ich als Grundfläche das Dreieck nehmen
> kann/darf.
>
> Euch noch einen schönen Abend
> Schobbi
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Hallo, bis hier ist alles korrekt
[mm] V=\bruch{1}{3}(\bruch{3+x}{2}(\bruch{3\wurzel{3}}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}x))(\bruch{\wurzel{3}}{2}x)
[/mm]
betrachten wir zunächst
[mm] (\bruch{3+x}{2}(\bruch{3\wurzel{3}}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}x))
[/mm]
[mm] =(\bruch{3}{2}+\bruch{x}{2})*(\bruch{3\wurzel{3}}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{6}x) [/mm]
[mm] =\bruch{9*\wurzel{3}}{4}-\bruch{3*\wurzel{3}}{4}x+\bruch{3*\wurzel{3}}{4}x-\bruch{\wurzel{3}}{4}x^{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{9*\wurzel{3}}{4}-\bruch{\wurzel{3}}{4}x^{2}
[/mm]
jetzt ist dieser Term noch mit [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{\wurzel{3}}{2}x=\bruch{\wurzel{3}}{6}x
[/mm]
[mm] V=\bruch{\wurzel{3}}{6}x*(\bruch{9*\wurzel{3}}{4}-\bruch{\wurzel{3}}{4}x^{2})
[/mm]
[mm] V=\bruch{1}{24}*(27x-3*x^{3})
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Di 12.10.2010 | | Autor: | Schobbi |
Dann hat sich also doch der Fehlerteufel eingeschlichen. Werde dann meine Lösung gleich mal korrigieren....
DANKE nochmal für Eure hilfe!
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