Forum "Mengenlehre" - Einfache Beweisaufgaben - Vorkurse

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Forum "Mengenlehre" - Einfache Beweisaufgaben

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Einfache Beweisaufgaben: Bitte um Korrektur

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:13 So 18.02.2007
Autor:	Lepkuchen

Hallo!

Würde bitte jemand diese Paar Beweise durchgehen und sie auf Fehler/Mängel überprüfen?

Danke im Voraus :)

Aufgabe 1

 
M [mm] \cup [/mm] M = M

x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] M) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] M oder x [mm] \in [/mm] M) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \Box [/mm]

Aufgabe 2

 
M [mm] \cap [/mm] M = M

x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cap [/mm] M) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] M und x [mm] \in [/mm] M) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \Box [/mm]

Aufgabe 3

 
[mm] M\cup  \emptyset [/mm] = M

x [mm] \in (M\cup \emptyset) \gdw (x\not\in \emptyset) \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \Box [/mm]

Aufgabe 4

 
[mm] M\cap \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset
 [/mm]

x [mm] \not\in (M\cap \emptyset) \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] M) [mm] \gdw x\notin \emptyset \Box [/mm]

Aufgabe 5

 
M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \cup [/mm] N = N und M [mm] \cap [/mm] N = M

Seien x [mm] \in [/mm] M und x,y [mm] \in [/mm] N

1)
x,y [mm] \in [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \gdw [/mm] (nach Voraussetzung: x [mm] \in [/mm] M) [mm] \gdw [/mm] (x,y [mm] \in [/mm] N) [mm] \Box [/mm]

2)
y [mm] \not\in [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N) [mm] \gdw [/mm] (nach Voraussetzung: y [mm] \not\in [/mm] M und y [mm] \in [/mm] N) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] M und x,y [mm] \in [/mm] N) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \Box [/mm]

Aufgabe 6

 
L [mm] \subset [/mm] N und M [mm] \subset [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] L [mm] \cup [/mm] M [mm] \subset [/mm] N und L [mm] \cap [/mm] M [mm] \subset [/mm] N

Seien x [mm] \in [/mm] L; x,y in M und x,y,z in N

1)
x,y [mm] \in [/mm] (L [mm] \cup [/mm] M) [mm] \gdw [/mm] (nach Voraussetzung: x,y [mm] \in [/mm] N) [mm] \gdw [/mm] (L [mm] \cup [/mm] M) [mm] \subset [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] N) [mm] \Box [/mm]

2)
x [mm] \in [/mm] (L [mm] \cap [/mm] M) [mm] \gdw [/mm] (nach Voraussetzung: x [mm] \in [/mm] N) [mm] \gdw [/mm] (L [mm] \cap [/mm] M) [mm] \subset [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] N [mm] \Box [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Einfache Beweisaufgaben: die ersten paar

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:35 So 18.02.2007
Autor:	Bastiane

Hallo Lepkuchen!

> M [mm]\cup[/mm] M = M
>
>
> x [mm]\in[/mm] (M [mm]\cup[/mm] M) [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] M oder x [mm]\in[/mm] M) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] M
> [mm]\Box[/mm]

> M [mm]\cap[/mm] M = M
>
>
> x [mm]\in[/mm] (M [mm]\cap[/mm] M) [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] M und x [mm]\in[/mm] M) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] M
> [mm]\Box[/mm]

> [mm]M\cup \emptyset[/mm] = M
>
>
> x [mm]\in (M\cup \emptyset) \gdw (x\not\in \emptyset) \gdw[/mm] x
> [mm]\in[/mm] M [mm]\Box[/mm]

Mmh, ich schätze, du meinst das richtige, aber so würde ich es nicht aufschreiben. Es gilt doch:
[mm] $x\in M\cup\emptyset \gdw x\in [/mm] M [mm] \vee x\in \emptyset\gdw x\in [/mm] M$
und ich würde vielleicht noch dazu schreiben, dass die letzte Äquivalenz gilt, weil die leere Menge natürlich kein Element enthält, also insbesondere x nicht in der leeren Menge liegen kann.

> [mm]M\cap \emptyset[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
>
>
> x [mm]\not\in (M\cap \emptyset) \gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] M) [mm]\gdw x\notin \emptyset \Box[/mm]

Mmh, auch hier würde ich das anders aufschreiben. Oder du erklärst es noch mit Worten - so finde ich es jedenfalls irgendwie "missverständlich".

Den Rest gucke ich mir vielleicht später noch an...

Viele Grüße
Bastiane

Bezug

Einfache Beweisaufgaben: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:03 So 18.02.2007
Autor:	schachuzipus

Hallo Lepkuchen,
Bei (5) würde ich die Mengengleichheit durch die beiden Teilmengenbeziehungen zeigen, weil das mit den Äquivalenzen nicht ganz ohne ist ;)

Also bei der (5) ist ja die erste Beh.: [mm] M\subset N\Rightarrow M\cup [/mm] N = N

Bew.: Sei [mm] M\subset [/mm] N
zz.: [mm] M\cup [/mm] N = N

[mm] "\subset": [/mm] Sei [mm] x\in (M\cup [/mm] N) [mm] \Rightarrow x\in M\vee x\in [/mm] N [mm] \Rightarrow x\in N\vee x\in [/mm] N [nach Vor.] [mm] \Rightarrow x\in [/mm] N, also [mm] (M\cup N)\subset [/mm] N

[mm] "\supset": [/mm] Sei [mm] x\in [/mm] N [mm] \Rightarrow x\in (M\cup [/mm] N), also [mm] N\subset (M\cup [/mm] N)

den zweiten Teil der Beh. würde ich genauso beweisen

(6) Beh.: [mm] L\subset [/mm] N [mm] \wedge M\subset [/mm] N [mm] \Rightarrow (L\cup M)\subset [/mm] N

Bew.: Sei [mm] L\subset [/mm] N [mm] \wedge M\subset [/mm] N

zz.: [mm] (L\cup M)\subset [/mm] N

Sei also [mm] x\in (L\cup [/mm] M) [mm] \Rightarrow x\in L\vee x\in [/mm] M [mm] \Rightarrow x\in N\vee x\in [/mm] N [nach Vor.] [mm] \Rightarrow x\in [/mm] N, also [mm] (L\cup M)\subset [/mm] N

Gruß

schachuzipus

Bezug

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