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| Aufgabe | |2x + 1| = |x - 1| + 1
x [mm] \in \IR [/mm] |
Bestimmen sie alle x [mm] \in \IR
[/mm]
So weit bin ich und jetzt irgendwie zu blöd weiterzukommen.
|2x + 1| = |x - 1| + 1
[mm] \Rightarrow [/mm] |2x| = |x - 1| + 1 - |1|
[mm] \Rightarrow [/mm] |2x| = |x - 1|
[mm] \Rightarrow [/mm] |2| |x| = |x - 1|
[mm] \Rightarrow [/mm] |x| = [mm] \bruch{|x - 1|}{|2|}
[/mm]
....?
Bin ich bis jetzt auf dem richtigen Weg? Und wie gehts weiter?
Danke schonmal
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, gehe an die Lösung mit folgenden Fallunterscheidungen
1. Fall:
[mm] 2x+1\ge0 [/mm] und [mm] x-1\ge0
[/mm]
also [mm] x\ge-\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] x\ge1
[/mm]
zu lösen ist
2x+1=x-1+1
x=-1
überlege dir nun, was bedeutet das
2. Fall:
[mm] 2x+1\ge0 [/mm] und x-1<0
3. Fall:
2x+1<0 und [mm] x-1\ge0
[/mm]
4. Fall:
2x+1<0 und x-1<0
Steffi
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Hallo, danke für die schnelle Antwort.
Ich hab mir das mit den Fallunterscheidungen schon gedacht, da wir in der Vorlesung genauso vorgegangen sind.
Aber vom Prinzip verstanden hab ich das noch nicht so richtig.
Ich würde Fall. 2 z.B. wie folgt beschreiben:
x [mm] \ge -\bruch{1}{2} [/mm] und x < 1
2x + 1 = 1 - x + 1
2x = 1 - x
x = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Also vielleicht ist das jetzt richtig, aber hab quasi nur das nachgemacht was wir in der Vorlesung gemacht haben. Warum weiß ich nicht. Könntest du mir vielleicht kurz erläutern wie ich weiter vorgehen muss, und vor allem warum? Ich versuch schon das nachzuvollziehen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Do 04.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich würde Fall. 2 z.B. wie folgt beschreiben:
>
> x [mm]\ge -\bruch{1}{2}[/mm] und x < 1
Korrekt
Dann wird, nach der Definition des Betrages
[mm] |2x+1|=|x-1|+1 [/mm]
[mm] \gdw (2x+1)=-(x-1)+1 [/mm]
>
> 2x + 1 = 1 - x + 1
>
> 2x = 1 - x
>
> x = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
Deine Rechnung ist korrekt, und da die "Falllösung" [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] auch im betrachteten Intervall [mm] [-\bruch{1}{2};1[ [/mm] liegt, ist die Lösungsmenge des 2. Falles [mm] \IL_{2}=\{\bruch{1}{3}\}
[/mm]
Deine Gesamtlösungsmenge [mm] \IL_{g} [/mm] ist dann die Vereinigung aller Teillösungsmengen [mm] \IL_{i}, [/mm] also [mm] \IL_{g}=\bigcup_{i=1}\IL_{i}
[/mm]
Ich hoffe, es ist dir jetzt etwas klarer geworden.
Marius
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Alos sieht das ganze dann so aus:
Fall 1
x [mm] \ge -\bruch{1}{2} [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 1
2x + 1 = x - 1 + 1
x = -1
Fall 2
x [mm] \ge -\bruch{1}{2} [/mm] und x < 1
2x + 1 = 1 - x + 1
x = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Fall 3
x < [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und x [mm] \ge [/mm] 1
-2x + 1 = x - 1 + 1
x = [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
Fall 4
x < [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] und x < 1
-2x + 1 = 1 - x + 1
x = -3
Dann ist die Lösungsmenge
[mm] \IL_(g) [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1} [/mm] -1, [mm] \bruch{1}{3}, -\bruch{1}{3}, [/mm] -3
Ist das so richtig?
Und kleine Randfrage, kann ich die Lösungsmenge auch wie folgt angeben:
[mm] \IL_(g) [/mm] {-1 ; [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ; [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] ; -3}
Danke für die Hilfe :)
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Hallo, deine vier Fälle hast du korrekt betrachtet
aus Fall 1 bekommen wir keine Lösung, du findest keine Zahl, die [mm] x\ge-\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] x\ge1 [/mm] und x=-1 erfüllt
aus Fall 2 bekommen wir [mm] x=\bruch{1}{3}
[/mm]
aus Fall 3 bekommen wir keine Lösung
aus Fall 4 bekommen wir x=-3
[mm] L=\{-3; \bruch{1}{3}\}
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Do 04.11.2010 | | Autor: | Mammutbaum |
Das ergibt Sinn.
Fall gelöst. Danke nochmal für die Tips :)> Hallo, deine vier Fälle hast du korrekt betrachtet
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Fr 05.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Es geht etwas einfacher:
quadriere die Gl. |2x + 1| = |x - 1| + 1
Dann bekommst Du:
[mm] $3x^2+6x-1=2|x-1|$
[/mm]
Jetzt mußt Du nur 2 Fälle unterscheiden und jeweils eine qudratische Gleichung lösen
Probe nicht vergessen ! Warum ?
FRED
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> |2x + 1| = |x - 1| + 1
Guten Tag
Ich würde empfehlen, die Terme der linken und der
rechten Seite graphisch darzustellen (das geht ganz
leicht), um dann zu entscheiden, welche linearen
Gleichungen noch zu lösen sind.
LG Al-Chw.
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