Eine Äquivalenzrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | R auf NxN sei gegeben:
$(a,b)R(c,d) : [mm] \gdw [/mm] a+d = b+c $
Handelt es sich bei R um eine Äquivalenzrelation ? |
Hallo,
Begonnen mit der Reflexivität stelle ich mir grad die Frage
wie ich diese genau zeigen soll. Denn besteht mein Tupel ja z.b aus (a,b).
Wenn ich nun sage das a,bRb,a stünde hätte ich ja zwei verschiedene Elemente oder ist das doch so korrekt bezgl. der Reflexivität ?
lg
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mo 10.12.2012 | | Autor: | fred97 |
R ist reflexiv, wenn für (a,b) gilt:
a+b=b+a
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Coup |
gilt das dann als selbsterklärend für mein anderes Tupel oder muss ich auch noch erwähnen das für [mm] $(c,d)\inN$ [/mm] c+d=d+c gilt ?
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Hallo,
deine Paare sind doch aus [mm] \IN\times\IN, [/mm] die Addition ist somit die Addition natürlicher Zahlen und damit kommutativ.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Coup |
Vielen Dank für den Hinweis :)
Für meine Symmetrie gilt ja, dass $ (a,b)R(d,c) [mm] \gdw [/mm] a+c=b+d $ Somit trifft auch diese zu.
Doch ich kenne die Transivität nur bei 3 Elementen. Da ich hier aber nur x und y für meine Tupel habe frage ich mich :Was bedeutet hier Transitiv ?
Ist nicht schon laut Def. $(a,b)R(c,d)$ Transitiv ?
Vielen Dank ! : )
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Hallo,
ich glaube, Du hast etwas Wesentliches nicht verstanden.
Betrachtet wird hier die Relation R auf der Menge [mm] M:=\IN\times\IN [/mm] mit
$ (a,b)R(c,d) : [mm] \gdw [/mm] a+d = b+c $.
Wir halten zunächst einmal fest, daß die Elemente von M Zahlenpaare sind, und daß oben erklärt wird, wann zwei Zahlenpaare in Relation zueinander stehen.
Es gilt z.B. (1,2)R(3,4), denn es ist 1+4=2+3.
Also ist (Achtung, Achtung!) das Paar (von Paaren) [mm] ((1,2),(3,4))\in [/mm] R.
Es ist R eine Relation auf M, also ist [mm] R\subseteq M\times M=(\IN\times\IN)\times(\IN\times\IN).
[/mm]
> Für meine Symmetrie
Wir interessieren uns aber nicht für Deine Symmetrie, sondern für die von R...
> gilt ja, dass [mm](a,b)R(d,c) \gdw a+c=b+d[/mm]
Für die Symmetrie mußt Du prüfen, ob für [mm] x,y\in [/mm] M mit xRy folgt, daß auch yRx.
Ich mache es mal vor:
Seien [mm] x:=(x_1,x_2), y:=(y_1, y_2)\in [/mm] M und gelte xRy.
<==> [mm] x_1+y_2=x_2+y_1 [/mm]
<==> [mm] y_1+x_2=y_2+x_1 [/mm]
<==> [mm] (y_1,y_2)R(x_1,x_2)
[/mm]
<==> xRy
Also ist die Relation symmetrisch.
> Somit trifft auch diese zu.
> Doch ich kenne die Transivität nur bei 3 Elementen. Da
> ich hier aber nur x und y für meine Tupel habe frage ich
> mich :Was bedeutet hier Transitiv ?
> Ist nicht schon laut Def. [mm](a,b)R(c,d)[/mm] Transitiv ?
Für die Transitivität ist für [mm] x,y,z\in [/mm] M zu zeigen, daß gilt
(xRy und yRz) ==> xRz.
Nun machst Du's wieder so wie oben:
seien [mm] x:=(x_1,x_2), y:=(y_1, y_2), z:=(z_1,z_2) \in [/mm] M und gelte ... ... ... usw.
LG Angela
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