Eindeutigkeit von Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 So 24.04.2011 | | Autor: | Grass |
| Aufgabe | | Es gibt für alle Primzahlen p und n [mm] \in \IN [/mm] einen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Körper [mm] \IF_{q} [/mm] mit [mm] |\IF_{q}|=p^{n}=q [/mm] . |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versteh nicht wieso der Körper bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist!? Wäre nett,wenn es mir einer in leichten Worten erklären könnte. Bitte nicht mit Zerfallskörpern,da ich dies nicht verwenden darf.
Schon mal danke im voraus.
Gruß
Grass
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 So 24.04.2011 | | Autor: | SEcki |
> Ich versteh nicht wieso der Körper bis auf Isomorphie
> eindeutig bestimmt ist!?
Was dies heisst oder warum das so ist?
Dies ist so, da die entsprechenden Körper Zerfällungskörper des gleichen Polynoms sind - und diese sind isomorph.
> Wäre nett,wenn es mir einer in
> leichten Worten erklären könnte. Bitte nicht mit
> Zerfallskörpern,da ich dies nicht verwenden darf.
Wieso darfst du Zerfällungskörper nicht verwenden?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 So 24.04.2011 | | Autor: | Grass |
Hallo SEcki.
>Wieso darfst du Zerfällungskörper nicht verwenden?
Ich muss im Proseminar zur Algebra ein Vortrag halten und da kommt dies vor. Da wir noch keine Zerfällungskörper hatten, muss ich das irgendwie umgehen, denn das kommt später im Vortrag bei jemandem anderes noch dran.
Aber eine Frage: Könntest du mir das trotzdem nochmal genauer mit Zerfällungskörpern erklären? Und wenn es geht noch irgendwie anders.
Gruß
Grass
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Mi 27.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Grass,
> Es gibt für alle Primzahlen p und n [mm]\in \IN[/mm] einen bis auf
> Isomorphie eindeutig bestimmten Körper [mm]\IF_{q}[/mm] mit
> [mm]|\IF_{q}|=p^{n}=q[/mm] .
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich versteh nicht wieso der Körper bis auf Isomorphie
> eindeutig bestimmt ist!? Wäre nett,wenn es mir einer in
> leichten Worten erklären könnte. Bitte nicht mit
> Zerfallskörpern,da ich dies nicht verwenden darf.
darfst du algebraische Abschluesse und Einbettungen alg. Erweiterungen in solche verwenden?
(Genauer: du brauchst: ist $K$ ein Koerper, so gibt es eine Koerpererweiterung $L/K$ mit $L$ alg. abgeschlossen, $L/K$ algebraisch, und fuer alle alg. Erweiterungen $E/K$ gibt es eine $K$-Einbettung [mm] $\sigma [/mm] : E [mm] \to [/mm] L$.)
Damit kommst du auch zum Ziel: erstmal ist $K = [mm] \IF_p$ [/mm] der Primkoerper und [mm] $E_1, E_2$ [/mm] seien zwei endliche Koerper mit [mm] $p^n$ [/mm] Elementen. Seien [mm] $\sigma_i [/mm] : [mm] E_i \to [/mm] L$ Einbettungen in einen alg. Abschluss $L$ von [mm] $\IF_p$. [/mm] Dann ist [mm] $E_i \cong \sigma_i(E_i) [/mm] =: [mm] F_i$, [/mm] und alle Elemente von [mm] $F_i$ [/mm] sind Nullstellen von [mm] $X^{p^n} [/mm] - X [mm] \in [/mm] K[X]$.
Dieses Polynom hat hoechstens [mm] $p^n$ [/mm] Nullstellen, womit [mm] $F_1 [/mm] = [mm] F_2$ [/mm] sein muss, und somit [mm] $\sigma_2^{-1} \circ \sigma_1 [/mm] : [mm] E_1 \to E_2$ [/mm] wohldefiniert und ein Isomorphismus ist.
Hierzu braucht man wie gesagt die Existenz von alg. Abschluessen, was komplizierter ist als die Existenz von Zerfaellungskoerpern.
Man kann das ganze auch noch elementarer machen (glaube ich zumindest, dazu braucht man u.a. dass [mm] $X^{p^n} [/mm] - X$ das Produkt aller irreduziblen Polynome von Grad [mm] $\mid [/mm] n$ ueber [mm] $\IF_p$ [/mm] ist), allerdings hab ich grad nicht genug Zeit um es aufzuschreiben.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mi 27.04.2011 | | Autor: | felixf |
So, jetzt mal zur Eindeutigkeit ohne Zerfaellungskoerper.
Seien [mm] $K_1, K_2$ [/mm] zwei Koerper mit [mm] $p^n$ [/mm] Elementen und sei [mm] $\IF_p$ [/mm] der Koerper mit $p$ Elementen. Ohne Einschraenkung sei [mm] $\IF_p$ [/mm] ein Unterkoerper von [mm] $K_1$ [/mm] und [mm] $K_2$.
[/mm]
Mit dem kleinen Satz von Fermat zeigt man, dass jedes Element in [mm] $K_1$ [/mm] und [mm] $K_2$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $X^{p^n} [/mm] - X [mm] \in \IF_p[X]$ [/mm] ist. Da [mm] $X^{p^n} [/mm] - X$ hoechstens [mm] $p^n$ [/mm] Nullstellen haben kann, ist jedes Element aus [mm] $K_1$ [/mm] (bzw. [mm] $K_2$) [/mm] folglich eine einfache Nullstelle von [mm] $X^{p^n} [/mm] - X$.
Sei nun [mm] $K_2 [/mm] = [mm] \IF_p[\alpha]$, [/mm] und sei $f$ das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] uebrer [mm] $\IF_p$. [/mm] Dann ist $f$ ein Teiler von [mm] $X^{p^n} [/mm] - X$, und nach der obigen Diskussion hat $f$ eine Nullstelle in [mm] $K_1$, [/mm] da [mm] $X^{p^n} [/mm] - X$ ueber [mm] $K_1$ [/mm] in Linearfaktoren zerfaellt (und somit auch $f$). Sei [mm] $\beta$ [/mm] eine solche Nullstelle.
Nun betrachte [mm] $\varphi_2 [/mm] : [mm] \IF_p[X] \to \IF_p[\alpha]$, [/mm] $g [mm] \mapsto g(\alpha)$ [/mm] und [mm] $\varphi_1 [/mm] : [mm] \IF_p[X] \to \IF_p[\beta]$, [/mm] $g [mm] \mapsto g(\beta)$. [/mm] Beides sind Homomorphismen mit Kern $f [mm] \IF_p[x]$, [/mm] womit [mm] $Bild(\varphi_1) \cong \IF_p[x]/(f) \cong Bild(\varphi_2)$ [/mm] ist nach dem Homomorphiesatz. Nun ist [mm] $Bild(\varphi_2) [/mm] = [mm] \IF_p[\alpha] [/mm] = [mm] K_2$ [/mm] und hat [mm] $p^n$ [/mm] Elemente, womit [mm] $Bild(\varphi_1) [/mm] = [mm] \IF_p[\beta] \subseteq K_1$ [/mm] ebenfalls [mm] $p^n$ [/mm] Elemente hat -- womit also [mm] $\IF_p[\beta] [/mm] = [mm] K_1$ [/mm] ist und wir einen Isomorphismus [mm] $K_1 \cong K_2$ [/mm] gefunden haben.
LG Felix
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