Eindeutigkeit der LK der Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V eine reeller Vektorraum.
Zeigen sie, dass die Menge von Vektoren [mm] B_{1} [/mm] = { [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n} [/mm] } [mm] \subset [/mm] V genau dann eine Basis von V ist, wenn sich jeder Vektor v [mm] \in [/mm] V eindeutig als Linearkombination der Vektoren aus [mm] B_{1} [/mm] darstellen lässt, mit anderen Worten, ist v= [mm] \summe_{i=1}^{n} l_{i} b_{i}, [/mm] so sind [mm] l_{1}, [/mm] ... [mm] ,l_{n} \in \IR [/mm] eindeutig festgelegt. |
Mein Lösungsvorschlag so weit:
Zu [mm] "\Rightarrow" [/mm]
Sei v [mm] \in [/mm] V [mm] \wedge [/mm] v [mm] \not\in [/mm] LK( { [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n} [/mm] } ) (LK=Linearkombination)
[mm] \Rightarrow b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n}, [/mm] v sind l.u. [mm] \Rightarrow B_{2} [/mm] := { [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n}, [/mm] v } sei Basis des Vektorraumes R [mm] \Rightarrow dim_{\IR}(V) [/mm] = [mm] dim_{\IR}(B_{1}) [/mm] = n < n+1 = [mm] dim_{\IR}(R) [/mm] = [mm] dim_{\IR}(B_{2}) \Rightarrow [/mm] V [mm] \subset [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] v [mm] \not\in [/mm] V WIDERSPRUCH
Also v [mm] \in [/mm] LK( { [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n} [/mm] } ) [mm] \gdw [/mm] v= [mm] \summe_{i=1}^{n} l_{i} b_{i} [/mm] ; [mm] l_{1}, [/mm] ... [mm] ,l_{n} \in \IR
[/mm]
So weit so gut. Ich dachte das habe ich solide bewiesen.
Dann kam ich zur Rückrichtung und das hat mich stutzig gemacht.
Der Beweis rückwärts sähe nach dem Muster oben so aus:
Zu [mm] "\Leftarrow"
[/mm]
v= [mm] \summe_{i=1}^{n} l_{i} b_{i} [/mm] ; [mm] l_{1}, [/mm] ... [mm] ,l_{n} \in \IR \gdw [/mm] v [mm] \in [/mm] LK( { [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n} [/mm] } ) [mm] \Rightarrow B_{1} [/mm] = { [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n} [/mm] } ist Basis von V.
Kann es sein, dass es viel mehr darum geht die Eindeutigkeit des [mm] l_{1}, [/mm] ... [mm] ,l_{n} \in \IR [/mm] zu beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei V eine reeller Vektorraum.
> Zeigen sie, dass die Menge von Vektoren [mm]B_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]b_{1},[/mm]
> ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\subset[/mm] V genau dann eine Basis von V ist,
> wenn sich jeder Vektor v [mm]\in[/mm] V eindeutig als
> Linearkombination der Vektoren aus [mm]B_{1}[/mm] darstellen lässt,
> mit anderen Worten, ist v= [mm]\summe_{i=1}^{n} l_{i} b_{i},[/mm] so
> sind [mm]l_{1},[/mm] ... [mm],l_{n} \in \IR[/mm] eindeutig festgelegt.
> Mein Lösungsvorschlag so weit:
>
> Zu [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> Sei v [mm]\in[/mm] V [mm]\wedge[/mm] v [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
LK( { [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} )
> (LK=Linearkombination)
> [mm]\Rightarrow b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n},[/mm] v sind l.u. [mm]\Rightarrow B_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> := { [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
v } sei Basis des Vektorraumes R
> [mm]\Rightarrow dim_{\IR}(V)[/mm] = [mm]dim_{\IR}(B_{1})[/mm] = n < n+1 =
> [mm]dim_{\IR}(R)[/mm] = [mm]dim_{\IR}(B_{2}) \Rightarrow[/mm] V [mm]\subset[/mm] R
> [mm]\Rightarrow[/mm] v [mm]\not\in[/mm] V WIDERSPRUCH
> Also v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
LK( { [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ) [mm]\gdw[/mm] v=
> [mm]\summe_{i=1}^{n} l_{i} b_{i}[/mm] ; [mm]l_{1},[/mm] ... [mm],l_{n} \in \IR[/mm]
>
> So weit so gut. Ich dachte das habe ich solide bewiesen.
> Dann kam ich zur Rückrichtung und das hat mich stutzig
> gemacht.
> Der Beweis rückwärts sähe nach dem Muster oben so aus:
>
> Zu [mm]"\Leftarrow"[/mm]
> v= [mm]\summe_{i=1}^{n} l_{i} b_{i}[/mm] ; [mm]l_{1},[/mm] ... [mm],l_{n} \in \IR \gdw[/mm]
> v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
LK( { [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ) [mm]\Rightarrow B_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {
> [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ist Basis von V.
>
>
> Kann es sein, dass es viel mehr darum geht die
> Eindeutigkeit des [mm]l_{1},[/mm] ... [mm],l_{n} \in \IR[/mm] zu beweisen?
Es ist so:
es gibt verschiedene (gleichwertige) Möglichkeiten den Begriff "Basis eines Vektorraumes" zu definieren.
Sag uns bitte, wie Eure Definition lautet(vorher macht es wenig Sinn , sich Deiner Frage zu widmen)
FRED
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Definition der Basis:
Sei V ein endlich erzeugter reeller Vektorraum, dann heißt eine Menge B={ [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n} [/mm] } Basis von V, falls gilt:
(1) V = [mm] LK(b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n})
[/mm]
(2) [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n} [/mm] sind linear unabhängig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei V eine reeller Vektorraum.
> Zeigen sie, dass die Menge von Vektoren [mm]B_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]b_{1},[/mm]
> ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\subset[/mm] V genau dann eine Basis von V ist,
> wenn sich jeder Vektor v [mm]\in[/mm] V eindeutig als
> Linearkombination der Vektoren aus [mm]B_{1}[/mm] darstellen lässt,
> mit anderen Worten, ist v= [mm]\summe_{i=1}^{n} l_{i} b_{i},[/mm] so
> sind [mm]l_{1},[/mm] ... [mm],l_{n} \in \IR[/mm] eindeutig festgelegt.
> Mein Lösungsvorschlag so weit:
>
> Zu [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> Sei v [mm]\in[/mm] V [mm]\wedge[/mm] v [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
LK( { [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} )
> (LK=Linearkombination)
> [mm]\Rightarrow b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n},[/mm] v sind l.u. [mm]\Rightarrow B_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> := { [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
v } sei Basis des Vektorraumes R
> [mm]\Rightarrow dim_{\IR}(V)[/mm] = [mm]dim_{\IR}(B_{1})[/mm] = n < n+1 =
> [mm]dim_{\IR}(R)[/mm] = [mm]dim_{\IR}(B_{2}) \Rightarrow[/mm] V [mm]\subset[/mm] R
> [mm]\Rightarrow[/mm] v [mm]\not\in[/mm] V WIDERSPRUCH
> Also v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
LK( { [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ) [mm]\gdw[/mm] v=
> [mm]\summe_{i=1}^{n} l_{i} b_{i}[/mm] ; [mm]l_{1},[/mm] ... [mm],l_{n} \in \IR[/mm]
>
> So weit so gut. Ich dachte das habe ich solide bewiesen.
> Dann kam ich zur Rückrichtung und das hat mich stutzig
> gemacht.
> Der Beweis rückwärts sähe nach dem Muster oben so aus:
>
> Zu [mm]"\Leftarrow"[/mm]
> v= [mm]\summe_{i=1}^{n} l_{i} b_{i}[/mm] ; [mm]l_{1},[/mm] ... [mm],l_{n} \in \IR \gdw[/mm]
> v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
LK( { [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ) [mm]\Rightarrow B_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {
> [mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ist Basis von V.
>
>
> Kann es sein, dass es viel mehr darum geht die
> Eindeutigkeit des [mm]l_{1},[/mm] ... [mm],l_{n} \in \IR[/mm] zu beweisen?
Da wir nun wissen, wie Ihr "Basis" def. habt, folgendes zu Deinem "Beweis":
" [mm] \Rightarrow [/mm] ":
Was Du da oben in diesem Beweisteil treibst, ist mir nicht klar.
Vorausgesetzt ist doch: [mm] B_1 =\{b_1,...,b_n\} [/mm] mit:
[mm] (1)V=LK(b_1,...,b_n) [/mm]
und
(2) [mm] b_1,...,b_n [/mm] sind l.u.
Jetzt musst Du zeigen: ist v $ [mm] \in [/mm] $ V , so lässt sich v eindeutig als Linearkombination der Vektoren aus $ [mm] B_{1} [/mm] $ darstellen.
Wegen (1) lässt v als Linearkombination der Vektoren aus $ [mm] B_{1} [/mm] $ darstellen.
Jetzt nimm mal 2 solche Darstellungen her:
[mm] v=\summe_{i=1}^{n}\alpha_i*b_i [/mm] und [mm] v=\summe_{i=1}^{n}\beta_i*b_i.
[/mm]
Zeige nun: [mm] \alpha_i= \beta_i [/mm] für i=1,...,n.
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Jetzt ist vorausgesetzt: jeder Vektor v $ [mm] \in [/mm] $ V lässt sich eindeutig als Linearkombination der Vektoren aus $ [mm] B_{1} [/mm] $ darstellen .
Jetzt musst Du zeigen:
[mm] (1)V=LK(b_1,...,b_n) [/mm]
und
(2) [mm] b_1,...,b_n [/mm] sind l.u.
FRED
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