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| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] eine symetrisch positiv definite Matrix. Sei weiter F [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] die Matrix mit FF=A.(die Wurzel aus A).
Zu zeigen ist die Eindeutigkeit von F |
Zu dieser Aufgabe habe ich mal eine Frage:
In einer Teilaufgabe zuvor wurde bewiesen das die EW von FF die EW von A im Quadrat sind:
Sei also Fx = [mm] \lambda [/mm] x. Dann ist Ax= FFx = [mm] \labda [/mm] Fx = [mm] \lambda^2x. [/mm] Das heißt aber auch das alle EV von F auch EV von A zum EW [mm] \lambda^2 [/mm] sind. Aber es sind auch alles EV von A EV von FF zum EW [mm] \lambda.
[/mm]
So nun zur Aufgabe oben
Sei A=FF und A=F'F'. Zu zeigen ist F = F'
Meine Idee war zu zeigen das F und F' den selben EW zu einem EV haben denn dann folgt F=F'.
Nun sei x ein EV von F und F'. Die Frage ist ob man das voraussetzten kann ich bin mir da unsicher????
Wenn ja dann ist [mm] Ax=FFx=\mu^2 [/mm] x
und [mm] Ax=F'F'x=\mu'^2 [/mm] x
Da F nur positive EW nach Vorausetzung besitzt ist [mm] \mu' [/mm] = [mm] \mu. [/mm] Denn x ist EW zum EW [mm] \mu. [/mm] Es folgt [mm] Fx=\mu [/mm] x und F'x = [mm] \mu [/mm] x. Dann ist (F-F')x=0 Da [mm] x\not=0 [/mm] per definition muss F-F' = 0 sein [mm] \Rightarrow [/mm] F=F'. Geht das so? Wenn nicht wie kann man das lösen. Bei Wiki stand etwas von ein Diffeomorphismus(hatten wir aber noch nicht kann ich glaub ich auch nicht hinschreiben^^)
Danke für die Hilfe
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> Sei A [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] eine symetrisch positiv definite
> Matrix. Sei weiter F [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] die Matrix mit FF=A.(die
> Wurzel aus A).
> Zu zeigen ist die Eindeutigkeit von F
Hallo,
Du solltest in Deiner Aufgabenstellung noch erwähnen, daß F auch pos. def. sein soll.
> Nun sei x ein EV von F und F'. Die Frage ist ob man das
> voraussetzten kann ich bin mir da unsicher????
Einfach voraussetzen würde ich das nicht.
Sag doch: sei x ein EV v. F. Und dann zeigst Du, daß es auch einer v. F' ist.
> Wenn ja dann ist [mm]Ax=FFx=\mu^2[/mm] x
> und [mm]Ax=F'F'x=\mu'^2[/mm] x
> Da F nur positive EW nach Vorausetzung besitzt ist [mm]\mu'[/mm] =
> [mm]\mu.[/mm] Denn x ist EW zum EW [mm]\mu.[/mm] Es folgt [mm]Fx=\mu[/mm] x und F'x =
> [mm]\mu[/mm] x. Dann ist (F-F')x=0 Da [mm]x\not=0[/mm] per definition muss
> F-F' = 0 sein
Diesem Schluß folge ich so schnell nicht.
Das sagt doch nur, daß x [mm] \in [/mm] Kern (F-F').
(Allerdings trifft das ja auf jeden der n Eigenvektoren zu, also auf eine komplette Basis...)
> [mm]\Rightarrow[/mm] F=F'. Geht das so?
Ich sehe hier jedenfalls nichts Falsches.
(In meinen Unterlagen ist der Beweis zu Deinem Satz eine Anwendung des Spektralsatzes.)
Gruß v. Angela
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