Eindeutigkeit Kreis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | 1) Es seien drei paarweise verschiedene nicht kollineare Punkte A,B,C des [mm] R^2 [/mm] gegeben. Zeigen Sie, dass es genau einen Kreis gibt, der die drei Punkte enthält. |
Hallo,
die Tatsache, dass es einen Kreis gibt, sollen wir nicht mehr zeigen, nur die Eindeutigkeit. Man könnte also vielleicht den Kreis durch eine Gleichung angeben, in der die drei Punkte den Kreis bestimmen, dann annehmen, dass es einen weiteren Kreis durch die drei Punkte gäbe und das dann zu einem Widerspruch führen.
Aber wie kann ich die Kreisgleichung mit Hilfe der drei Punkte aufstellen? Wir haben für den Kreis:
Kr(M): [mm] (\vec{x}-\vec{m})*(\vec{x}-\vec{m})=r^2
[/mm]
Wobei ich denke, dass x ein beliebiger Punkt auf dem Kreis ist und m der Vektor zum Mittelpunkt. Einen beliebigen Punkte auf dem Kreis hätte ich ja zur Verfügung, aber wie berechne ich den Vektor m aus den gegebenen drei Punkten? Da komme ich mit Vektorrechnung gerade nicht weiter, da ich doch um M auszudrücken durch die Punkte immer auch M verwenden muss.
Kann mir jemand weiterhelfen und einen Tipp geben, wie das gehen könnte?
Viele Grüße,
Anna
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Sa 21.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Anna,
argumentiere, daß der Mittelpunkt eines solchen Kreises sowohl auf der Mittelsenkrechten durch A und B als auch auf der Mittelsenkrechten durch B und C liegen muß. Diese Mittelsenkrechten können nicht parallel sein, weil A, B und C nicht auch einer Geraden liegen, also schneiden sie sich in genau einem Punkt. Nur dieser Punkt kommt also als Mittelpunkt eines solchen Kreises in Frage. Da der Radius aus dem (gemeinsamen) Abstand dieses Punktes zu A, B und C eindeutig bestimmt ist, gibt es also nicht mehr als einen solchen Kreis.
LG
Will
|
|
|
|
