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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Eindeutige Lösung LGS
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Eindeutige Lösung LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:00 Do 31.10.2013
Autor: klingelton

Aufgabe
Beweisen Sie, dass ein lineares Gleichungssystem der Form

[mm] a_{1,1}x+a_{1,2}y [/mm] = b1
[mm] a_{2,1}x+a_{2,2}y [/mm] = b2

genau dann eindeutig lösbar ist (d.h. genau eine Lösung in x, y besitzt), wenn [mm] a_{1,1}a_{2,2} [/mm] - [mm] a_{1,2}a_{2,1} \not= [/mm] 0 gilt.

Hallo,

die genannte Aufgabe war erstmal kein Problem. Hab den Gauß-Algorithmus angewandt und am Ende kam raus:
[mm] (a_{1,1}a_{2,2} [/mm] - [mm] a_{1,2}a_{2,1}) [/mm] y = [mm] a_{1,1}b_{2} [/mm] - [mm] a_{2,1}b_{1} [/mm]

Wenn ich nach y umstellen will, darf der entsprechende Term natürlich nicht 0 sein, wie in der Aufgabenstellung gefordert. Soweit so gut, ich dachte, damit wäre das fertig.

Doch dann wollte ich noch ein Ergebnis für x bekommen, also y in die erste Gleichung eingesetzt, absoluten Teil rübergezogen und nun müsste ich noch durch den Faktor von x, also [mm] a_{1,1} [/mm] teilen? Das wäre ja dann aber eine zweite Bedingung dafür, dass das LGS eindeutig lösbar ist oder? Denn wenn [mm] a_{1,1}=0 [/mm] wäre das LGS doch wieder nicht eindeutig lösbar? Oder kann ich diesen Teil dann getrost übersehen?

        
Bezug
Eindeutige Lösung LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 Do 31.10.2013
Autor: leduart

Hallo
wenn [mm] a_{11}=0 [/mm] ist ist doch die erste Gl. [mm] a_{12}*y=b1 [/mm] wie willst du da x ausrechnen.
also in die 2 te einsetzen, wenn [mm] a_{21} [/mm] auch =0 dann ist auch dein ursprunglicher Ausdruck 9 und du kannst die Gl. nicht eindeutig lösen!
dein Argument, du kannst y nicht ausrechnen ist nur halb richtig, wenn da stünde 0*y=0
erfüllt jedes y die Gl.
also entweder steht da [mm] 0*y=A\ne0 [/mm] dann gibt es keine Lösung für y oder A=0 dann unendlich viele.
Gruss leduart

Bezug
                
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Eindeutige Lösung LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Do 31.10.2013
Autor: klingelton

Sorry, ich steh ein wenig auf dem Schlauch. Ich kann zumindest deiner Antwort noch nicht so viel entnehmen.

Reicht es jetzt, den Punkt zu betrachten, dass der gesuchte Ausdruck nicht 0 sein darf, weil man mit ihm teilt oder muss ich jetzt noch mehr beachten? Den Fall, dass 0*y = 0 entsteht, kann ich doch echt weglassen, da ich ja genau eine eindeutige Lösung rausbekommen soll und nicht ein beliebiges y.

Bezug
                        
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Eindeutige Lösung LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Do 31.10.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Sorry, ich steh ein wenig auf dem Schlauch. Ich kann
> zumindest deiner Antwort noch nicht so viel entnehmen.

>

> Reicht es jetzt, den Punkt zu betrachten, dass der gesuchte
> Ausdruck nicht 0 sein darf, weil man mit ihm teilt oder
> muss ich jetzt noch mehr beachten?

Das kommt immer auf die Fragestellung an. Hier geht es um eine eindeutige Lösung, also muss hier nicht mehr beachtet werden.

> Den Fall, dass 0*y = 0
> entsteht, kann ich doch echt weglassen, da ich ja genau
> eine eindeutige Lösung rausbekommen soll und nicht ein
> beliebiges y.

Wenn dich die Struktur der Lösungsmenge allgemein interessiert, dann musst du hier die beiden Fälle

0*y=0

und

0*y=c , [mm] c\ne [/mm] 0

unterscheiden. Denn im ersten Fall hättest du unendlich viele Lösungen, im zweiten Fall keine.


Gruß, Diophant

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Eindeutige Lösung LGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:53 Do 31.10.2013
Autor: klingelton

Ok, das war Klartext, vielen dank! :)
Auch nochmal danke an leduart. In diesem Forum kriegt man echt immer zeitnah eine sehr gute Antwort!

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