Eind. bestimmte max. Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Fr 04.05.2018 | | Autor: | Filza |
| Aufgabe | Es ist folgendes AWP gegeben:
[mm] x'(t)=x(t)-\bruch{2*t}{x(t)}
[/mm]
[mm] x(\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Zu zeigen ist, dass das AWP eine eind. bestimmte max. Lsg besitzt. |
Zuerst wollte ich das AWP lösen, aber ich weiß nicht, welche Methode ich hier anwenden soll.
Auf ein paar Ideen würde ich mich freuen:)
Danke:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:21 Sa 05.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Es ist folgendes AWP gegeben:
> [mm]x'(t)=x(t)-\bruch{2*t}{x(t)}[/mm]
> [mm]x(\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> Zu zeigen ist, dass das AWP eine eind. bestimmte max. Lsg
> besitzt.
> Zuerst wollte ich das AWP lösen, aber ich weiß nicht,
> welche Methode ich hier anwenden soll.
> Auf ein paar Ideen würde ich mich freuen:)
> Danke:)
Denke an Picard-Lindelöf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 06.05.2018 | | Autor: | Filza |
Also müsste man zeigen, dass die Funktion lokal lipschitz ist?
Also: [mm] |(u_1 [/mm] - [mm] 2*t/u_1) -(u_2 [/mm] - [mm] 2*t/u_2)|= |u_1 [/mm] - [mm] 2*t/u_1 -u_2 [/mm] + [mm] 2*t/u_2| [/mm] =...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 06.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Also müsste man zeigen, dass die Funktion lokal lipschitz
> ist?
>
> Also: [mm]|(u_1[/mm] - [mm]2*t/u_1) -(u_2[/mm] - [mm]2*t/u_2)|= |u_1[/mm] - [mm]2*t/u_1 -u_2[/mm]
> + [mm]2*t/u_2|[/mm] =...
Ja, in die Richtung geht es. Dazu sei (wegen der Anfangsbedingung) [mm] D=\{(t,u) \in \IR^2: t>0, u>0\} [/mm] und f(t,u)=u-2t/u.
Zu zeigen ist: ist [mm] (t_0,u_0) \in [/mm] D, so existiert eine Umgebung U [mm] \subseteq [/mm] D von [mm] (t_0,u_0) [/mm] und es ex. ein [mm] L=L(t_0,u_0)>0 [/mm] mit
|f(t,u)-f(t,v)| [mm] \le [/mm] L|u-v| für alle (t,u),(t,v) [mm] \in [/mm] U.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 07.05.2018 | | Autor: | Filza |
Leider weiß ich nicht wie man es abschätzen soll.. Könnten Sie mir einen Tipp sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Di 08.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Leider weiß ich nicht wie man es abschätzen soll..
> Könnten Sie mir einen Tipp sagen?
Ich übernehme die Bezeichnungen aus meiner obigen Antwort. Wir wählen eine kompakte Umgebung U von [mm] (t_0,u_0) [/mm] mit U [mm] \subseteq [/mm] D.
Die partielle Ableitung [mm] f_u [/mm] ist auf U stetig, also ex. ein $ L [mm] \ge [/mm] 0$ mit
[mm] $|f_u(t,v)| \le [/mm] L$ für alle $(t,v) [mm] \in [/mm] U$.
Nun seien $(t,v),(t,w) [mm] \in [/mm] U$. Nach dem Mittelwertsatz ex. ein z zwischen v und w mit
[mm] $f(t,v)-f(t,w)=f_u(t,z)(v-w)$.
[/mm]
Es folgt: $|f(t,v)-f(t,w)| [mm] \le [/mm] L|v-w|$.
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