Einbettung, Untermannigfaltigk < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Do 23.10.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Sei [mm] f:(\bruch{\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2})\to \IR^2, [/mm] f(t)=(cos(t),sin(2t)). Zeige:
a) f ist eine injektive Immersion
b) f ist keine Einbettung
c) [mm] Im(f)=\left\{(x,y)\in\IR^2:y^2-4x^2+4x^4=0\right\}
[/mm]
d) Im(f) ist keine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^2, [/mm] aber [mm] Im(f)\backslash \left\{(0,0)\right\}ist [/mm] eine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^2. [/mm] |
zu a)
Für Injektivität muss ich ja zeigen, dass gilt: [mm] (cos(t_1),sin(2t_1))=(cos(t_2),sin(2t_2)) \Rightarrow t_1=t_2
[/mm]
Ich denke, dass äquivalent dazu gezeigt werden kann: Für alle [mm] t_1,t_2 [/mm] mit [mm] cos(t_1)=cos(t_2) [/mm] gilt: [mm] sin(2t_1)\not=sin(2t_2). [/mm]
Stimmt das so?
Für [mm] cos(t_1)=cos(t_2) [/mm] kann ich dann sagen, dass einer der beiden Fälle eintritt:
Fall 1.: [mm] t_1\in(\bruch{\pi}{2},\pi) \wedge t_2\in(\pi,\bruch{3\pi}{2})
[/mm]
Fall 2.: [mm] t_1\in(\bruch{3\pi}{2},2\pi) \wedge t_2\in(2\pi,\bruch{5\pi}{2})
[/mm]
Das sollte ohne weitere Begründung klar sein, oder?
Dann gilt für [mm] sin(2t_1) [/mm] in beiden Fällen, dass es negativ ist bzw. für [mm] sin(2t_2), [/mm] dass es positiv ist, also insbesondere [mm] sin(2t_1)\not=sin(2t_2). [/mm] Damit wäre die Injektivität gezeigt.
Fehlt noch die Immersion: Dazu ist zzg., dass der Rang der Jordanmatrix 1 ist, da [mm] dim(\bruch{\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2}) [/mm] =1.
Die Jordanmatrix ist: [mm] J_f(t)= \pmat{ -sin(t) \\ 2cos(2t) }. [/mm] Diese hat höchstens Rang 1. Bleibt zu zeigen, dass der Rang nie 0 wird, also zzg.:
-sin(t)=0 [mm] \Rightarrow 2cos(2t)\not=0
[/mm]
Dies mache ich einfach, indem ich feststelle, dass für -sin(t)=0 gilt: [mm] t=k_1\pi [/mm] und für 2cos(2t)=0 gilt [mm] t=(2k_2-1)\bruch{\pi}{4}. [/mm] Damit ist die Sache klar!
Kann ich das so lassen?
nun zub)
Ich muss ja jetzt noch zeigen, dass [mm] f:(\bruch{\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2})\to f((\bruch{\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2})) [/mm] kein Homöomorphismus. Dazu muss ich aber die Umkehrabbildung kennen, und dann zeigen, dass diese nicht stetig ist. Wie mach ich das?
zu c)Es ist ja [mm] Im(f)=\left\{(x,y)\in\IR^2:x=cos(t),y=sin(2t)\; mit\; t\in(\bruch{\pi}{2}, \bruch{5\pi}{2})\right\}. [/mm] Kann ich einfach ein [mm] (x_0,y_0) [/mm] aus Im(f) wählen und zeigen, dass dann dies eingesetzt in die Gleichung aus der Menge in der Aufgabenstellung 0 ergibt und somit die Mengen gleich sind?
zu d) Wie geh ich hier vor? In der Def. von Untermannigfaltigkeiten steht was von offenen Mengen etc. Muss ich zeigen, dass gerade in(0,0) keine solche offene Umgebung gefunden werden kann? Und für den zweiten Teil muss ich doch zeigen, dass es bei allen anderen Punkten keine Probleme gibt...wie mach ich das?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Do 23.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
diese Aufgabe hatten wir heute schon: ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Klick
Viele Grüße
Rainer
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