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| Aufgabe | | Sei [mm] A\in O_n [/mm] (also A orthogonale nxn- Matrix) mit detA=-1. Zeigen Sie, -1 ist Eigenwert von A mit ungerader algebraischer Vielfachheit. |
Hallo!
Also das -1 ein Eigenwert ist habe ich so gezeigt:
Für einen Ew [mm] \lambda [/mm] zu einem Ev [mm] v\not=0 [/mm] gilt ja [mm] det(A-\lambda*I)v=0
[/mm]
Zu zeigen, dass [mm] \lambda=-1 [/mm] ist also gleichbedeutend damit, wenn man zeigt, dass det(A+I)=0 ist. Da A orthogonal, gilt ja [mm] A^T=A^{-1}
[/mm]
Also:
[mm] det(A+I)=det(A+A*A^T)=det(A(I+A^T))=det(A)*det(I+A^T)=-det(I+A^T)=-det(I+A)
[/mm]
also gilt 2*det(A+I)=0 und damit det(A+I)=0 und -1 ist ein Eigenwert!
Jetzt muss ich zeigen, dass der Eigenwert [mm] \lambda=-1 [/mm] eine ungerade algebraische Vielfachheit hat.
Es gilt doch [mm] det(A)=(-1)^n\produkt_{i=1}^{n}\lambda_i^{m_i} [/mm] also das Produkt der Eigenwerte [mm] \lambda_i [/mm] mit der algebraischen Vielfachheit [mm] m_i [/mm] im Exponent. Also über [mm] \IC [/mm] habe ich doch immer n Eigenwerte, ist das richtig? Wobei die natürlich auch gleich sein können. Wie könnte man denn jetzt weiter folgern, dass -1 nur eine ungerade algebraische Vielfachheit haben kann?
Grüße, kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 So 13.05.2012 | | Autor: | Blech |
> Also über $ [mm] \IC [/mm] $ habe ich doch immer n Eigenwerte, ist das richtig?
Ja.
> Wie könnte man denn jetzt weiter folgern, dass -1 nur eine ungerade algebraische Vielfachheit haben kann?
Die komplexen EW treten nur in Paaren mit zueinander komplex konjugierten EW auf (weil A nur reelle Koeffis hat).
[mm] $z*\bar [/mm] z >0$ (=1 in dem Fall, weil alle Betrag 1 haben)
ciao
Stefan
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> > Also über [mm]\IC[/mm] habe ich doch immer n Eigenwerte, ist das
> richtig?
>
> Ja.
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> > Wie könnte man denn jetzt weiter folgern, dass -1 nur eine
> ungerade algebraische Vielfachheit haben kann?
>
> Die komplexen EW treten nur in Paaren mit zueinander
> komplex konjugierten EW auf (weil A nur reelle Koeffis
> hat).
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> [mm]z*\bar z >0[/mm] (=1 in dem Fall, weil alle Betrag 1 haben)
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>
> ciao
> Stefan
Super, Danke! 
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