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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mi 20.04.2005 | | Autor: | chil14r |
Hallo! Hab eine wichtige Frage zu dieser 4 x 4 Matrix
Im genaueren handelt es sich um eine Eigenwertberrechnung. Nachdem ich es über 5mal probiert habe brauch ich eure Hilfe
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ - \lambda & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 & - \lambda }
[/mm]
Jetzt ziehe ich die 2. 3. und 4. Spalte von der Ersten ab und entwickel nach der ersten Zeile / Spalte
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \lambda & 1 - \lambda ^2 & 1 + \lambda & 1 + \lambda \\ 1 & 1 + \lambda & - 1 - \lambda & 0 \\ 1 & 1 + \lambda & 0 & - 1 - \lambda }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 - \lambda ^2 & 1 + \lambda & 1 + \lambda \\ 1 + \lambda & - 1 - \lambda & 0 \\ 1 + \lambda & 0 & - 1 - \lambda }
[/mm]
Doch irgendwie haut das Polynom nich hin
[mm] \lambda^4 [/mm] - [mm] 4\lambda^3 [/mm] - [mm] 6\lambda^2 [/mm] - [mm] 7\lambda [/mm] - 3
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo! Hab eine wichtige Frage zu dieser 4 x 4 Matrix
> Im genaueren handelt es sich um eine Eigenwertberrechnung.
> Nachdem ich es über 5mal probiert habe brauch ich eure
> Hilfe
>
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> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 }[/mm]
>
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> [mm]\pmat{ - \lambda & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 & - \lambda }[/mm]
>
> Jetzt ziehe ich die 2. 3. und 4. Spalte von der Ersten ab
> und entwickel nach der ersten Zeile / Spalte
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - \lambda & 1 - \lambda ^2 & 1 + \lambda & 1 + \lambda \\ 1 & 1 + \lambda & - 1 - \lambda & 0 \\ 1 & 1 + \lambda & 0 & - 1 - \lambda }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 - \lambda ^2 & 1 + \lambda & 1 + \lambda \\ 1 + \lambda & - 1 - \lambda & 0 \\ 1 + \lambda & 0 & - 1 - \lambda }[/mm]
>
> Doch irgendwie haut das Polynom nich hin
> [mm]\lambda^4[/mm] - [mm]4\lambda^3[/mm] - [mm]6\lambda^2[/mm] - [mm]7\lambda[/mm] - 3
>
Maple gibt mir folgende Lösung: [mm]\lambda^4 -6 \lambda^2 -8 \lambda -3 = (\lambda -3) (\lambda+1) ^3 [/mm].
Ich kam dahin durch Laplace-Entwicklung nach der ersten Spalte:
[mm]\det \pmat{ - \lambda & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 & - \lambda } = - \lambda \det \pmat{ -\lambda & 1&1 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 1 &1& -\lambda } - 1 \det \pmat{ 1 & 1&1 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 1 &1& -\lambda } +1 \det \pmat{ 1 & 1&1 \\ -\lambda & 1 & 1 \\ 1 &1& -\lambda } - 1 \det \pmat{ 1 & 1&1 \\ -\lambda &1& 1 \\ 1 & -\lambda &1 } [/mm]
[mm]= - \lambda ( -\lambda^3 +1+1 +\lambda+\lambda+\lambda) -1(\lambda^2+1+1+\lambda-1+\lambda) +1 ( -\lambda+1-\lambda-1-1-\lambda^2) -1(1+1+\lambda^2-1+\lambda+\lambda) [/mm]
[mm]= \lambda^4 -3\lambda^2-2\lambda-\lambda^2-2\lambda-1-\lambda^2-2\lambda-1-\lambda^2-2\lambda-1[/mm]
[mm] = \lambda^4-6\lambda^2-8\lambda-3[/mm]
Und das sollte das richtige Ergebnis sein!
Gruß Micha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Do 21.04.2005 | | Autor: | Soldi01 |
Es gibt noch eine weitere Möglichkeit zur Lösung:
Ausgang:
[mm] \pmat{ - \lambda & 1 & 1 & 1 & \\ 1 & - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 & - \lambda } [/mm]
Gausselimination durchführen bis entweder die die untere oder obere dreiecksmatrix nur 0 hat:
[mm] \pmat{ 1 & -\lambda & 1& 1 \\ 0 & \lambda +1 & -\lambda -1 & 0\\ 0 & 0 & \lambda +1 & -\lambda - 1 \\ 0 & 0 &0 &-\lambda^{2}+2*\lambda +3}[/mm]
nun einfach die Elemente der Hauptdiagonale multiplizieren und fertig...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 21.04.2005 | | Autor: | chil14r |
Erstmal Danke für eure beiden Lösungen. Die Entwicklung von Laplace scheint hierbei echt die günstigste Methode zu sein. Doch versteh ich nicht wieso meine Variante nicht auf die gleiche Lösung kommt, weil zugelassen sind meine schritte alle. Hmmmm erkennt jemand meinen Fehler?
Danke schonmal im Vorraus
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Hallo!
Der erste Fehler passiert dir, als du die 1. und 2. Spalte vertauschst, dadurch kommt ein $-$ vor die neue Determinante.
Wenn ich aber die Determinante der [mm] 3$\times$3-Matrix [/mm] am Ende ausrechne, komme ich auf das richtige charakteristische Polynom. Wahrscheinlich liegt der Fehler beim Rechenweg danach...
Gruß, banachella
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