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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Eigenwertproblem auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Unter "Berechnung der Eigenvektoren" ist ein Beispiel.
Was ich nicht verstehe:
"Die Lösung (und damit die gesuchten Eigenvektoren) ist der Vektor ... und alle seine Vielfachen (nicht jedoch das Nullfache des Vektors, da Nullvektoren niemals Eigenvektoren sind)."
Wieso "alle seine Vielfachen", ich dachte der Eigenvektor gehört zu dem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ?
Und wie schreibt man, wenn man eine Aufgabe mit Eigenwert und Eigenvektor hat, die Lösung auf. Also z.B. wir haben zu Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 2 den Eigenvektor [mm] \vektor{1/2 \\ 0 \\ -1}, [/mm] was schreibe ich dann als Fazit in den Beweis?
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Hi there. Dann gucken wir mal
Also sei $v [mm] \in [/mm] V$ ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Wir wollen zeigen, dass auch $sv$, [mm] s\in \IR \backslash \{0\} [/mm] Eigenwert zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist.
[mm] $A(sv)=s\cdot [/mm] A(v)=s [mm] \cdot \lambda [/mm] v [mm] =\lambda [/mm] s v$ Das erste Gleichheitszeichen ergibt sich aus den Eigenschaften linearer Abbildungen(Skalare kann man rausziehen)
Einen schönen abend
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Hallo,
super, danke für deine Antwort! Also alle vielfachen des Eigenvektors ungleich 0 sind zu meinem Eigenwert ebenso Eigenvektoren.
Aber jetzt tut sich mir noch eine Frage auf:
Angenommen mein charakteristische Polynom der Matrix A hat die Nullstelle [mm] \lambda [/mm] = 3. Aber der Eigenvektor zu [mm] \lambda [/mm] = 3 ist der Nullvektor. Ist dann [mm] \lambda [/mm] trotzdem Eigenwert von A (nur ohne Eigenvektor)? Aber jeder Eigenwert muss doch einen Eigenvektor haben.
Liebe Grüße
sommer
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> Hallo,
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> super, danke für deine Antwort! Also alle vielfachen des
> Eigenvektors ungleich 0 sind zu meinem Eigenwert ebenso
> Eigenvektoren.
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> Aber jetzt tut sich mir noch eine Frage auf:
> Angenommen mein charakteristische Polynom der Matrix A hat
> die Nullstelle [mm]\lambda[/mm] = 3. Aber der Eigenvektor zu [mm]\lambda[/mm]
> = 3 ist der Nullvektor.
Das kann nicht passieren. Denn der Nullvektor ist per Definition kein Eigenvektor(da sonst jede Matrix eigenvektoren hätte, denn der Nullvektor ist immer in jedem Kern, egal wie. Man hätte sonst immer mindestens einen Eigenvektor zu jedem beliebigen Eigenwert, dass würde heißen dass jedes charakteristische Polynom überabzählbare viele nullstellen haben würde, nämlich gesamt [mm] \IR, [/mm] womit das ganze konzept irgendwie unsinnig wäre). Sei v [mm] \not=0, Av=\lambda [/mm] v [mm] \Rightarrow (A-\lambda)v=0 \Rightarrow [/mm] v [mm] \in \ker(A-\lambda). [/mm] Ist v Eigenvektor, das heißt man findet immer mindestens einen Eigenvektor, wenn man einen Eigenwert gefunden hat.
>Ist dann [mm]\lambda[/mm] trotzdem Eigenwert
> von A (nur ohne Eigenvektor)? Aber jeder Eigenwert muss
> doch einen Eigenvektor haben.
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>
> Liebe Grüße
> sommer
Grüße retour
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