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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:35 Sa 19.11.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die allgemeine Lösung für das homogene lineare DGL-System
[mm] \vec{x}'=\pmat{ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 }\vec{x} [/mm] mit Hilfe der Eigenwertmethode. |
Also als erstes berechnet man die Eigenwerte:
[mm] det\pmat{ 3-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & 3-\lambda }
[/mm]
Entwickeln nach der 1. Spalte:
[mm] (3-\lambda)*det\pmat{ 2-\lambda & 0 \\ 1 & 3-\lambda }
[/mm]
[mm] =(3-\lambda)[(2-\lambda)(3-\lambda)-0]
[/mm]
Ich hab das jetzt immer alles ausmultipliziert und so, aber ich glaub man kann jetz schon an der Stelle die Eigenwerte ablesen oder?
Das wären ja dann:
[mm] \lambda_{1/2}=3 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=2
[/mm]
Jetzt die Eigenverktoren berechnen:
1) für [mm] \lambda_{1/2}=3:
[/mm]
[mm] \lambda*Iv=Av
[/mm]
[mm] \gdw (A-\lambda*I)v=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (A-3I)v=0
[mm] Kern\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
[mm] =span{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}}
[/mm]
Es fehlen noch Lösungen, aber ich bin mir nicht sicher wie man auf die kommt. Wir haben dafür Hauptvektoren h eingeführt. Und im Tutorium haben wir dann gesagt man muss einen Vektor h finden, so dass gilt:
[mm] (A-\lambda*I)\vec{h}=\vec{v} [/mm] mit [mm] \vec{v}=der [/mm] bereits bestimmte Eigenvektor und [mm] \lambda=der [/mm] Eigenwert
also würde da stehen:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }*\vec{h}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Kann man das mit der Gleichung machen? Dann muss ich ja nur die Inverse von der Matrix bilden und das mit [mm] \vec{v} [/mm] multiplizieren oder?
Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 21.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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