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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte von Vektoren
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Eigenwerte von Vektoren: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:56 Di 25.01.2005
Autor: Marsei

Moin!

Sei A:=  [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] , mit a,b,c,d > 0 Z.Z.

a) A hat zwei verschiedene reelle Eigenwerte
b) A hat einen positiven Eigenwert
c) Zum größten Eigenwert von A ex. unendlich viele Eigenvektoren, deren beide Komponenten >0 sind.

a) Also ich weiß, dass die Eigenwerte die Nullstellen des char. Polynoms sind und das ich das so erhalte:
det(A- [mm] \lambda [/mm] E)...
[mm] \Rightarrow [/mm] det [mm] \pmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda } [/mm] = [mm] (a-\lambda)(d-\lambda) [/mm] -bc = [mm] \lambda^2 -\lambda(a+d)-bc [/mm]
also sind die [mm] \lambda [/mm]  nach pq-formel:
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] =  [mm] \bruch{a+d}{2} [/mm] +-  [mm] \wurzel{\bruch{(a+d)^2}{4}+bc-ad} [/mm] = [mm] \bruch{a+d}{2} [/mm] +-  [mm] \wurzel{\bruch{(a-d)^2}{4}+bc} [/mm]
b) dazu habe ich mir das [mm] \lambda [/mm] mit der positiven Wurzel angeschaut.
mit der Vorr. a,b,c,d >0  [mm] \Rightarrow [/mm] dass das [mm] \lambda [/mm] > 0 ist

Hoffe mal dass ich bis jetzt nicht so falsch daneben lag, denn jetzt kommt meine eigentlich Frage. Wie komme ich von einem Eigenwert auf einen Eigenvektor und brauch ich das für c)?

so long marsei
        
Bezug
Eigenwerte von Vektoren: Hinweis auf Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:06 Di 25.01.2005
Autor: Marcel

Hallo Marsei!

So auf die Schnelle (ich muss gleich leider weg):
> Moin!
>  
> Sei A:=  [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] , mit a,b,c,d > 0 Z.Z.
>  
> a) A hat zwei verschiedene reelle Eigenwerte
>  b) A hat einen positiven Eigenwert
>  c) Zum größten Eigenwert von A ex. unendlich viele
> Eigenvektoren, deren beide Komponenten >0 sind.
>  
> a) Also ich weiß, dass die Eigenwerte die Nullstellen des
> char. Polynoms sind und das ich das so erhalte:
>  det(A- [mm]\lambda[/mm] E)...
>   [mm]\Rightarrow[/mm] det [mm]\pmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda}= (a-\lambda)(d-\lambda) -bc[/mm]

[ok]

> [mm]=\lambda^2 -\lambda(a+d)-bc[/mm]

[notok]

Es ist doch:
[mm](a-\lambda)(d-\lambda) -bc=(\lambda-a)(\lambda-d)-bc=\lambda^2-\lambda(a+d)\red{+ad}-bc[/mm]  
Aber deine Vorgehensweise scheint generell in Ordnung zu sein! :-)
(Bevor du nun aber dann direkt die MBPQFormel anwendest, würde ich schreiben:
Daraus folgt:
[mm]\det\pmat{ a-\lambda & b \\ c & d-\lambda}\blue{=0}[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm]\lambda^2-\lambda(a+d)\red{+ad}-bc\blue{=0}[/mm]
Du machst diesen Schritt (leider mit deinem Rechenfehler) auch; nur etwas versteckt (du redest vor der Rechnung von den Nullstellen des char. Polynoms);-)!)

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
        
Bezug
Eigenwerte von Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:05 Di 25.01.2005
Autor: Marsei

oha stimmt da habe ich wohl einen summanden vergessen abzutippen... naja habs mal korrigiert. danke für den hinweis. was ist mit dem rest ?
Bezug
        
Bezug
Eigenwerte von Vektoren: Eigenvektor
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Di 25.01.2005
Autor: Hexe

Also das Besondere an einem Eigenvektor v zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] der Matrix A ist, dass  [mm] Av=\lambda\*v [/mm] gilt-
In unserem Fall also
I. [mm] av_1+bv_2=([/mm]  [mm]\bruch{a+d}{2}[/mm] +[mm]\wurzel{\bruch{(a-d)^2}{4}+bc} [/mm][mm] )v_1 [/mm]
II. [mm] cv_1+dv_2=([/mm] [mm]\bruch{a+d}{2}[/mm] +[mm]\wurzel{\bruch{(a-d)^2}{4}+bc} [/mm][mm] )v_2 [/mm]
Und dabei musst du nun halt die unendlich vielen Lösungen zeigen
Bezug
                
Bezug
Eigenwerte von Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:26 Di 25.01.2005
Autor: Marsei

kann mich ja irren, aber wenn ich jetzt sagen wir mal die erste in die zweite einsetze muss ja ne wahre aussage herauskommen und wenn das so ist heißt das eigentlich das ich alle werte beliebig wählen kann und damit hätte ich unendlich viele möglichkeiten.
Bezug
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