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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 19.05.2015 | | Autor: | muritane |
| Aufgabe | Beweisen Sie fur A ∈ R
n × m den Zusammenhang [mm] \sigma(AA^{t}) [/mm] \ {0} = [mm] \sigma(A^{t}A) [/mm] \ {0}
und geben Sie ein Beispiel, bei dem 0 ∈ [mm] \sigma(AA^{t}) [/mm] und 0 ∈/ [mm] \sigma(A^{t}A) [/mm] gelten.
[mm] A^{t} [/mm] - A transponiert
σ() - die Menge der Eigenwerte |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: gute mathe fragen, habe noch nichts bekommen.
Ich bin davon ausgegangen, dass der Rang gleich bleibt, bin aber nicht weitergekommen. Das Problem ist für mich, dass die Matrix nicht quadratisch ist. Ein bisschen Hilfe wäre super!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe Deine Formeln mal sichtbar gemacht. Mit [mm] [nomm]$\sigma$[/nomm] [/mm] schreibst
Du [mm] $\sigma$ [/mm] (Du kannst auch zwei Dollarzeichen um das Symbol setzen, anstatt
diese mm's).
Ich denke eigentlich, dass Du mit dem Formeleditor besser bedient bist, und
man lernt auch ein wenig was in Latex.
https://matheraum.de/mm
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Di 19.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie fur A ∈ R
> n × m den Zusammenhang [mm]\sigma(AA^{t})[/mm] \ {0} = [mm]\sigma(A^{t}A)[/mm] \ {0}
steht das wirklich so da? Mich wundert das, weil ja [mm] $A*A^t$ [/mm] und [mm] $A^t*A$ [/mm] zwar
quadratisch sind, die erste ist aber im [mm] $\IR^{n \times n}$, [/mm] die zweite im [mm] $\IR^{m \times m}\,.$
[/mm]
Und auch bei [mm] $n=m\,$ [/mm] sehe ich das nicht mal schnell ein...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:17 Mi 20.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Die Bedenken von Marcel kann ich nicht teilen.
Es gilt allgemeiner:
Ist A [mm] \in \IR^{n \times m} [/mm] und B [mm] \in \IR^{m \times n}, [/mm] so ist
[mm] \sigma(AB) \setminus \{0\} [/mm] = [mm] \sigma(BA) \setminus \{0\}.
[/mm]
Beweis: es genügt, [mm] \sigma(AB) \setminus \{0\} \subseteq \sigma(BA) \setminus \{0\} [/mm] zu zeigen.
Sei also [mm] \lambda \in \sigma(AB) \setminus \{0\}. [/mm] Dann ex. ein x [mm] \in \IR^n [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0 und
(*) ABx= [mm] \lambda [/mm] x.
Setzen wir y:=Bx. Wäre y=0, so würde aus (*) folgen: [mm] \lambda=0 [/mm] oder x=0. Somit ist y [mm] \ne [/mm] 0 und mit (*) kommt
[mm] $\lambda [/mm] y= [mm] \lambda [/mm] Bx = B(ABx) =(BA)Bx= BAy.$
Dies zeigt [mm] \lambda \in \sigma(BA) \setminus \{0\}.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Mi 20.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Die Bedenken von Marcel kann ich nicht teilen.
musst Du auch nicht - mir fehlte nur der Durchblick, genauer:
> Es gilt allgemeiner:
>
> Ist A [mm]\in \IR^{n \times m}[/mm] und B [mm]\in \IR^{m \times n},[/mm] so
> ist
>
>
> [mm]\sigma(AB) \setminus \{0\}[/mm] = [mm]\sigma(BA) \setminus \{0\}.[/mm]
>
> Beweis: es genügt, [mm]\sigma(AB) \setminus \{0\} \subseteq \sigma(BA) \setminus \{0\}[/mm]
> zu zeigen.
>
> Sei also [mm]\lambda \in \sigma(AB) \setminus \{0\}.[/mm] Dann ex.
> ein x [mm]\in \IR^n[/mm] mit x [mm]\ne[/mm] 0 und
>
> (*) ABx= [mm]\lambda[/mm] x.
>
> Setzen wir y:=Bx. Wäre y=0, so würde aus (*) folgen:
> [mm]\lambda=0[/mm] oder x=0. Somit ist y [mm]\ne[/mm] 0 und mit (*) kommt
>
> [mm]\lambda y= \red{\lambda Bx = B(ABx)} =(BA)Bx= BAy.[/mm]
der rotmarkierte Teil. Schön, dass es doch passt. 
> Dies zeigt [mm]\lambda \in \sigma(BA) \setminus \{0\}.[/mm]
Gruß,
Marcel
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