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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Basic |
Hallo, habe folgendes Problem:
zu Zeigen ist:
für die KonditionsZahl bezüglich der SpektralNorm einer regulären symmetrischen Matrix A gilt:
[mm]cond_2(A) = \bruch{max_{1\le k\le n}\left|\lambda_k\right|}{min_{1\le k\le n}\left|\lambda_k\right|}
[/mm]
nun gilt ja
[mm]cond_2(A) = \left\mathcal{k}A^{-1}\right\mathcal{k}_2 \left\mathcal{k}A\right\mathcal{k}_2\cdot [/mm]
also
[mm]
= \max\left\mathcal{f}\left\mathcal{j}\mu\right\mathcal{j} \mathcal{j} A^{-1}x = \mu x, fuer x \in \mathbb{R^n} \backslash \left\mathcal{f}0\right\mathcal{g} \right\mathcal{g} \cdot \max\left\mathcal{f}\left\mathcal{j}\lambda\right\mathcal{j} \mathcal{j} Ax = \lambda x, fuer x \in \mathbb{R^n} \backslash \left\mathcal{f}0\right\mathcal{g} \right\mathcal{g} \cdot
[/mm]
wobei [mm]\mu,\lambda[/mm] natürlich die Eigenwerte von [mm]A^{-1} und A[/mm] sind.
meine idee ist nun dass zur lösung gelten muss
[mm] \max\left\mathcal{f}\left\mathcal{j}\mu\right\mathcal{j} \mathcal{j} A^{-1}x = \mu x, fuer x \in \mathbb{R^n} \backslash \left\mathcal{f}0\right\mathcal{g} \right\mathcal{g} [/mm] = [mm] \max\left\mathcal{f}\left\mathcal{j}\bruch{1}{\lambda}\right\mathcal{j} \mathcal{j} Ax = \lambda x, fuer x \in \mathbb{R^n} \backslash \left\mathcal{f}0\right\mathcal{g} \right\mathcal{g}
[/mm]
denn damit wäre ja der maximale eigenwert der inversen gleich dem minimalen eigenwert von A und nach multiplikation würde sich die zu beweisende gleichung ergeben.
wie aber zeige ich diese Behauptung ? (bzw. ist es überhaupt der richtige ansatz)
danke im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Sa 20.11.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Basic,
Deine Idee, dass der maximale Eigenwert einer inversen Matrix gleich dem Kehrwert des minimalen Eigenwerts der ursprünglichen Matrix ist, ist absolut zutreffend.
Als Beweis folgendes:
Sei $A [mm] \in \IR^{n\timesn}$ [/mm] eine invertierbare Matrix mit Eigenwerten [mm] $\lambda_i$, [/mm] $i=1,...,n$ und zugehörigen Eigenvektoren [mm] $x_i$, [/mm] dann gilt wegen [mm] $A^{-1}A [/mm] = [mm] E_n$:
[/mm]
[mm] $A^{-1}A x_i [/mm] = [mm] A^{-1} \lambda_i x_i [/mm] = [mm] E_n x_i [/mm] = [mm] x_i$ [/mm] also kurz
[mm] $A^{-1} \lambda_i x_i [/mm] = [mm] x_i$
[/mm]
Dies lässt keinen anderen Schluss zu, als dass [mm] $A^{-1}$ [/mm] auch den Vektor [mm] $x_i$ [/mm] als Eigenvektor hat, und dass der zugehörige Eigenwert [mm] $\bruch{1}{\lambda_i}$ [/mm] für alle $i=1,...,n$ sein muss.
Anschaulich ist das natürlich sofort klar, da [mm] $A^{-1}$ [/mm] eine Transformation des Vektorraums durch $A$ gerade rückgängig macht.
Dann kannst Du Dir auch die folgende Ungleichung für die Eigenwerte zunutze machen:
[mm] $|\lambda_{max}| \ge |\lambda_i| \ge |\lambda_{min}| \gdw \bruch{1}{|\lambda_{max}|} \le \bruch{1}{|\lambda_i|} \le \bruch{1}{|\lambda_{min}|}$
[/mm]
greetz
AT-Colt
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