www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte usw.
Eigenwerte usw. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwerte usw.: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Fr 04.02.2005
Autor: Katilein84

Hallo,
ich möchte mich nur mal eben rückversichern, ob ich den Zusammenhang zwischen Eigenwerten, Eigenvektoren, Eigenräumen und Diagonalisierbarkeit verstanden habe. Also hier meine Annahmen:
1.) Zu jedem Eigenwert bekomme ich einen Eigenvektor.
2.) Dieser Eigenvektor erzeugt einen Eigenraum.
3.) Die Dimension eines Eigenraums ist immer 1 (weil ich pro Eigenraum ja immer nur einen Vektor habe).
4.) Die Diagonalisierbarkeit hängt damit von der Anzahl der Eigenwerte ab:
stimmt die Anzahl der Eigenvektoren mit dim V überein, ist die Matrix diagonalisierbar, ansonsten nicht.

Wäre nett, wenn mir jemand diese Vermutungen kurz bestätigen könnte, bzw. wenn was falsch ist daran, erklären warum und evtl. ein Gegenbeispiel geben.

Danke schonmal, Kati

        
Bezug
Eigenwerte usw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Fr 04.02.2005
Autor: Julius

Hallo Kati!

>  ich möchte mich nur mal eben rückversichern, ob ich den
> Zusammenhang zwischen Eigenwerten, Eigenvektoren,
> Eigenräumen und Diagonalisierbarkeit verstanden habe. Also
> hier meine Annahmen:
>  1.) Zu jedem Eigenwert bekomme ich einen Eigenvektor.

[ok], aber im Sinne von mindestens einen (sogar unendlich viele im reellen Fall), und auch eventuell mehrere, die linear unabhängig sind!

>  2.) Dieser Eigenvektor erzeugt einen Eigenraum.

[notok] Nein, nicht unbedingt! Eigenräume können auch mehrdimensional sein! Man nennt die Dimension eines Eigenraumes zu einem bestimmten Eigenwert dessen geometrische Vielfachheit.

Gegenbeispiel: Die Einheitsmatrix im [mm] $\IR^n$ [/mm] hat nur den Eigenwert $1$. Der zugehörige Eigenraum ist $n$-dimensional.

>  3.) Die Dimension eines Eigenraums ist immer 1 (weil ich
> pro Eigenraum ja immer nur einen Vektor habe).

[notok], siehe oben

>  4.) Die Diagonalisierbarkeit hängt damit von der Anzahl
> der Eigenwerte ab:
>  stimmt die Anzahl der Eigenvektoren mit dim V überein, ist
> die Matrix diagonalisierbar, ansonsten nicht.

[notok]

Die Diagonalisierbarkeit hängt davon ab, ob die Dimensionen der Eigenräume, also die geometrischen Vielfachheiten, "hinreichend groß" ist. Man bezeichnet als algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes die Vielfachheit, mit der dieser Eigenwert Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Genau dann, wenn die geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte so groß sind wie deren algebraische Vielfachheiten, ist die Matrix diagonalisierbar.

Zerfällt das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren und hat es nur einfache Nullstellen (d.h. sind alle Eigenwerte paarweise verschieden), dann sind alle Eigenräume automatisch eindimensional, d.h. es gilt "algebraische Vielfachheit=1=geometrische Vielfachheit", und die Matrix ist automatisch diagonalisierbar.

In allen anderen Fällen muss man bei diesem Vorgehen die Dimensionen der Eigenräume ausrechnen, also die geometrischen Vielfachheiten, und schauen, ob diese mit den algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen. Ist das der Fall, dann ist der unterliegende Vektorraum die direkte Summe der Eigenräume. Es gibt also eine Basis aus Eigenvektoren. Es gibt also eine Basis, bezüglich derer die Darstellungsmatrix Diagonalgestalt hat. Die Matrix ist diagonalisierbar.

Liebe Grüße
Julius  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]