Eigenwerte und Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei A = [mm] (a_{jk}) [/mm] eine beliebige (2,2)-Matrix mit Eigenwerten [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2}. [/mm] Zeigen Sie: [mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] = [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] und [mm] (a_{11} [/mm] - [mm] a_{22})^2 [/mm] + 4 [mm] a_{12}a_{21} [/mm] = [mm] (\lambda_{1} [/mm] - [mm] \lambda_{2})^2 [/mm] |
Hallo
versuche mich an obiger Aufgabe.
Den ersten Teil habe ich soweit fertig. Bin mir aber nicht sicher, ob das so zulässig ist:
[mm] (a_{11} [/mm] - [mm] \lambda)(a_{22} [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] - [mm] a_{12}a_{21} [/mm] = [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda) (\lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda)
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] - [mm] (a_{11} [/mm] + [mm] a_{22}) [/mm] + [mm] \bruch{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}{\lambda} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] - [mm] (\lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}) [/mm] + [mm] \bruch{\lambda_{1} \lambda_{2}}{\lambda}
[/mm]
[mm] (a_{11} [/mm] + [mm] a_{22}) [/mm] - 0 = [mm] (\lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}) [/mm] - 0
Beim zweiten Teil der Aufgabe weiß ich leider nicht so richtig, wie ich auf die gewünschte Form komme! Kann mir einer weiterhelfen?
Gruß und Danke,
Martin
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Do 21.06.2018 | | Autor: | fred97 |
> Sei A = [mm](a_{jk})[/mm] eine beliebige (2,2)-Matrix mit
> Eigenwerten [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}.[/mm] Zeigen Sie: [mm]a_{11}[/mm] +
> [mm]a_{22}[/mm] = [mm]\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}[/mm] und [mm](a_{11}[/mm] -
> [mm]a_{22})^2[/mm] + 4 [mm]a_{12}a_{21}[/mm] = [mm](\lambda_{1}[/mm] - [mm]\lambda_{2})^2[/mm]
> Hallo
>
> versuche mich an obiger Aufgabe.
> Den ersten Teil habe ich soweit fertig. Bin mir aber nicht
> sicher, ob das so zulässig ist:
>
> [mm](a_{11}[/mm] - [mm]\lambda)(a_{22}[/mm] - [mm]\lambda)[/mm] - [mm]a_{12}a_{21}[/mm] =
> [mm](\lambda_1[/mm] - [mm]\lambda) (\lambda_2[/mm] - [mm]\lambda)[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] - [mm](a_{11}[/mm] + [mm]a_{22})[/mm] + [mm]\bruch{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}{\lambda}[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] - [mm](\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2})[/mm] +
> [mm]\bruch{\lambda_{1} \lambda_{2}}{\lambda}[/mm]
Das ist ein großes Durcheinander mit [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda. [/mm] Für mich ist das nicht so richtig nachvollziehbar. Desweiteren teilst Du durch [mm] \lambda [/mm] , das geht nur wenn es [mm] \ne [/mm] 0 ist.
> - 0 = [mm](\lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2})[/mm] - 0
>
> Beim zweiten Teil der Aufgabe weiß ich leider nicht so
> richtig, wie ich auf die gewünschte Form komme! Kann mir
> einer weiterhelfen?
>
> Gruß und Danke,
>
> Martin
Sei [mm] $p(\lambda)=\lambda^2 [/mm] +a [mm] \lambda [/mm] +b$ das char Polynom von A.
Dann ist (zeige dies !)
[mm] a=-(a_{11}+a_{22}) [/mm] und [mm] b=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} [/mm] = [mm] \det(A).
[/mm]
Nun bemühe die Auflösungsformel für quadratische Gleichungen. Damit bekommst Du locker
$ [mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] = [mm] \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] $
Die zweite Gleichung bekommst Du ebenso mit dieser Auflösungsformel:
Berechne [mm] \lambda_1- \lambda_2, [/mm] quadriere und rechne !
|
|
|
| |
|
Danke! Da hab ich es mir ja unnötig schwer gemacht...
Aber zur Erklärung meiner Rechnung: Ich habe das charakteristische Polynom auf der einen Seite als Determinante von A - [mm] \lambda [/mm] I angeschrieben und auf der anderen Seite als [mm] (\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda) (\lambda_2 [/mm] - [mm] \lambda). [/mm] Dann auf beiden Seiten durch [mm] \lambda [/mm] geteilt und [mm] {\lambda}^2 [/mm] subtrahiert. Da auf auf beiden Seiten [mm] \bruch{c}{\lambda} [/mm] Nullfolgen sind, gilt [mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] = [mm] {\lambda}_{1} [/mm] + [mm] {\lambda}_{2}
[/mm]
Ergibt das für dich Sinn?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Fr 22.06.2018 | | Autor: | fred97 |
> Danke! Da hab ich es mir ja unnötig schwer gemacht...
> Aber zur Erklärung meiner Rechnung: Ich habe das
> charakteristische Polynom auf der einen Seite als
> Determinante von A - [mm]\lambda[/mm] I angeschrieben und auf der
> anderen Seite als [mm](\lambda_1[/mm] - [mm]\lambda) (\lambda_2[/mm] -
> [mm]\lambda).[/mm] Dann auf beiden Seiten durch [mm]\lambda[/mm] geteilt und
> [mm]{\lambda}^2[/mm] subtrahiert. Da auf auf beiden Seiten
> [mm]\bruch{c}{\lambda}[/mm] Nullfolgen sind, gilt [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] =
> [mm]{\lambda}_{1}[/mm] + [mm]{\lambda}_{2}[/mm]
> Ergibt das für dich Sinn?
Nein ! Teilen durch [mm] \lanbda [/mm] geht nur wenn [mm] \lambda \ne [/mm] 0 ist.
Was meinst Du denn mit " [mm]\bruch{c}{\lambda}[/mm] Nullfolge" ????
|
|
|
| |
|
Nullfolge war vielleicht der falsche Begriff.
Was ich sagen will: Das charakteristische Polynom einer Matrix ist letzten Endes doch eine Funktion [mm] f(\lambda). [/mm] Ich kann dieses Polynom einerseits anschreiben als
[mm] (a_{11} [/mm] - [mm] \lambda)(a_{22} [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] - [mm] a_{12} a_{21}
[/mm]
und andererseits als
[mm] ({\lambda}_1 [/mm] - [mm] \lambda) ({\lambda}_2 [/mm] - [mm] \lambda)
[/mm]
Ich starte also mit der Gleichung
[mm] (a_{11} [/mm] - [mm] \lambda)(a_{22} [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] - [mm] a_{12} a_{21} [/mm] = [mm] ({\lambda}_1 [/mm] - [mm] \lambda) ({\lambda}_2 [/mm] - [mm] \lambda)
[/mm]
und stelle um zu:
[mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] - [mm] \bruch{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}{\lambda} [/mm] = [mm] {\lambda}_{1} [/mm] + [mm] {\lambda}_{2} -\bruch{{\lambda}_{1} {\lambda}_{2}}{\lambda}
[/mm]
Sowohl [mm] a_{11} a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} a_{21} [/mm] als auch [mm] {\lambda}_{1} {\lambda}_{2} [/mm] sind von [mm] \lambda [/mm] unabhängige, also konstante Ausdrücke ("c"), und der Grenzwert jeder Funktion [mm] \bruch{c}{x} [/mm] oder eben [mm] \bruch{c}{\lambda} [/mm] ist 0.
Daher nur meine Frage, ob es zulässig ist, die qua Aufgabe zu zeigende Relation
[mm] a_{11} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] = [mm] {\lambda}_{1} [/mm] + [mm] {\lambda}_{2}
[/mm]
aus der umgestellten Gleichung zu schlussfolgern.
|
|
|
| |
|
Moin!
> Ich starte also mit der Gleichung
>
> [mm](a_{11}[/mm] - [mm]\lambda)(a_{22}[/mm] - [mm]\lambda)[/mm] - [mm]a_{12} a_{21}[/mm] =
> [mm]({\lambda}_1[/mm] - [mm]\lambda) ({\lambda}_2[/mm] - [mm]\lambda)[/mm]
Jetzt mach kein Gedöns, sondern multipliziere die Klammern aus, sortiere und besinne Dich darauf, daß zwei Polynome gleich sind, wenn ihre Koeffizienten gleich sind.
So bekommst Du dann
[mm] a_{11}+a_{22}=\lambda_1+\lambda_2
[/mm]
und
[mm] a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=\lambda_1\lambda_2.
[/mm]
Dann kann es weitergehen.
LG Angela
>
> und stelle um zu:
>
> [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] - [mm]\bruch{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}{\lambda}[/mm]
> = [mm]{\lambda}_{1}[/mm] + [mm]{\lambda}_{2} -\bruch{{\lambda}_{1} {\lambda}_{2}}{\lambda}[/mm]
>
> Sowohl [mm]a_{11} a_{22}[/mm] - [mm]a_{12} a_{21}[/mm] als auch [mm]{\lambda}_{1} {\lambda}_{2}[/mm]
> sind von [mm]\lambda[/mm] unabhängige, also konstante Ausdrücke
> ("c"), und der Grenzwert jeder Funktion [mm]\bruch{c}{x}[/mm] oder
> eben [mm]\bruch{c}{\lambda}[/mm] ist 0.
>
> Daher nur meine Frage, ob es zulässig ist, die qua Aufgabe
> zu zeigende Relation
>
> [mm]a_{11}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] = [mm]{\lambda}_{1}[/mm] + [mm]{\lambda}_{2}[/mm]
>
> aus der umgestellten Gleichung zu schlussfolgern.
|
|
|
|
