Eigenwerte und Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenwerte und alle Eigenvektoren.
A = [mm] \pmat{ 2 & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a } \in \IR^{3,3}
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } \in (\IZ [/mm] / 2 [mm] \IZ)^{3,3} [/mm] |
Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo liebes Forum,
könnte bitte jemand das Ganze kontrollieren? Danke =)
Zuerst fange ich mit den Eigenwerten an:
det ( A - [mm] \lambda I_{3}) [/mm] = 0
det ( [mm] \pmat{ 2 & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a } [/mm] - [mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda } [/mm] ) = 0
[mm] \gdw [/mm] det ( [mm] \pmat{ 2 - \lambda & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a -\lambda & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a -\lambda } [/mm] ) = 0
2 * det ( [mm] \pmat{ 4-a -\lambda & 2-a \\ -4+2a & -2+2a -\lambda } [/mm] ) = 0
[mm] \gdw [/mm] 2* ( [mm] (4-a-\lambda)(-2+2a-\lambda) [/mm] - (2-a)(-4+2a) ) = 0
[mm] \gdw [/mm] 2* ( [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] \lambda* [/mm] a - [mm] 2*\lambda [/mm] + 2a) = 0
[mm] \gdw \lambda^{2} [/mm] - [mm] \lambda* [/mm] a - [mm] 2*\lambda [/mm] + 2a = 0
[mm] \gdw \lambda [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] - a ) + 2 ( a- [mm] \lambda) [/mm] = 0 -> [mm] \lambda [/mm] = a
[mm] \gdw \lambda [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] -2 ) + a ( 2 - [mm] \lambda) [/mm] = 0 -> [mm] \lambda [/mm] = 2
Wie kommt man jetzt darauf, dass das 3. [mm] \lambda [/mm] auch gleich 2 ist?
det ( B - [mm] \lambda I_{3}) [/mm] = 0
det ( [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda } [/mm] ) = 0
[mm] \gdw [/mm] det ( [mm] \pmat{ 1 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1 - \lambda } [/mm] ) = 0
(1 - [mm] \lambda) [/mm] det [mm] (\pmat{ -\lambda & 1 \\ 1 & 1- \lambda } [/mm] ) - det [mm] (\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1- \lambda }) [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] (1 - [mm] \lambda) (-\lambda [/mm] + [mm] \lambda^{2} [/mm] -1) - (1 - [mm] \lambda) [/mm] = 0
-> [mm] \lambda [/mm] = 1
[mm] \gdw \lambda^{3} [/mm] - 2 [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] +2= 0
Durch Polynomdivision und danach Anwendung der pq - Formel: [mm] \lambda [/mm] = -1
und [mm] \lambda [/mm] = 2 .
Jetzt zu den Eigenvektoren:
(A - [mm] \lambda I_{3}) [/mm] * [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = 0
Für [mm] \lambda [/mm] = a :
[mm] \pmat{ 2 - a & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-2a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+a } [/mm] * [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] G2,3 ( 1)
[mm] \pmat{ 2 - a & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-2a & 2-a \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt komme ich nicht weiter, da jetzt ja eigentlich [mm] \overrightarrow{v_{3}} [/mm] = t für t [mm] \in \IR [/mm] ist oder nicht? Schließlich entsteht eine Nullzeile und somit gibt es doch unendlich viele Lösungen, aber Wolframalpha hat genau 3 Vektoren ohne irgend eine Variable drin und das verstehe ich nicht?
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Für [mm] \lambda [/mm] = 2 das gleiche Spiel.
Da kommt ja dann raus:
[mm] \pmat{ 0 & 2-a & 2-a \\ 0 & 2-a & 2-a \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] G1,2 (-1)
[mm] \pmat{ 0 & 2-a & 2-a \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Hier gibt es doch genauso unendlich viele Lösungen? Und wie kommt man hier auf 2 verschiedene Vektoren für beide Lambdas, die gleich 2 sind?
Zum Vergleich: Wolframalpha hat diese 3 Vektoren für A:
[mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{ -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 1}
[/mm]
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Hallo Milchschelle,
> Für [mm]\lambda[/mm] = 2 das gleiche Spiel.
>
> Da kommt ja dann raus:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2-a & 2-a \\ 0 & 2-a & 2-a \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] G1,2 (-1)
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2-a & 2-a \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Hier gibt es doch genauso unendlich viele Lösungen? Und
> wie kommt man hier auf 2 verschiedene Vektoren für beide
> Lambdas, die gleich 2 sind?
>
> Zum Vergleich: Wolframalpha hat diese 3 Vektoren für A:
>
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{ -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ 1}[/mm]
>
Die ersten zwei Vektoren sind richtig für [mm]a\not=2[/mm]
Den dritten Vektor kann ich mir nicht erklären.
Gruss
MathePower
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Hallo Milchschelle,
> Berechnen Sie die Eigenwerte und alle Eigenvektoren.
>
> A = [mm]\pmat{ 2 & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a } \in \IR^{3,3}[/mm]
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } \in (\IZ[/mm] /
> 2 [mm]\IZ)^{3,3}[/mm]
> Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo liebes Forum,
>
> könnte bitte jemand das Ganze kontrollieren? Danke =)
>
> Zuerst fange ich mit den Eigenwerten an:
>
> det ( A - [mm]\lambda I_{3})[/mm] = 0
>
> det ( [mm]\pmat{ 2 & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a }[/mm]
> - [mm]\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda }[/mm]
> ) = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] det ( [mm]\pmat{ 2 - \lambda & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a -\lambda & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a -\lambda }[/mm]
> ) = 0
>
>
> 2 * det ( [mm]\pmat{ 4-a -\lambda & 2-a \\ -4+2a & -2+2a -\lambda }[/mm]
> ) = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] 2* ( [mm](4-a-\lambda)(-2+2a-\lambda)[/mm] - (2-a)(-4+2a) ) =
> 0
>
> [mm]\gdw[/mm] 2* ( [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda*[/mm] a - [mm]2*\lambda[/mm] + 2a) = 0
>
> [mm]\gdw \lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda*[/mm] a - [mm]2*\lambda[/mm] + 2a = 0
>
> [mm]\gdw \lambda[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] - a ) + 2 ( a- [mm]\lambda)[/mm] = 0 ->
> [mm]\lambda[/mm] = a
>
> [mm]\gdw \lambda[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] -2 ) + a ( 2 - [mm]\lambda)[/mm] = 0 ->
> [mm]\lambda[/mm] = 2
>
> Wie kommt man jetzt darauf, dass das 3. [mm]\lambda[/mm] auch gleich
> 2 ist?
>
Durch den Vorfaktor [mm]2-\lambda[/mm],
aus dem auf merkwüridge Art nur eine 2 geworden ist.
>
> det ( B - [mm]\lambda I_{3})[/mm] = 0
>
> det ( [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm] - [mm]\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda }[/mm]
> ) = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] det ( [mm]\pmat{ 1 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1 - \lambda }[/mm]
> ) = 0
>
> (1 - [mm]\lambda)[/mm] det [mm](\pmat{ -\lambda & 1 \\ 1 & 1- \lambda }[/mm]
> ) - det [mm](\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1- \lambda })[/mm] = 0
>
> [mm]\gdw[/mm] (1 - [mm]\lambda) (-\lambda[/mm] + [mm]\lambda^{2}[/mm] -1) - (1 -
> [mm]\lambda)[/mm] = 0
> -> [mm]\lambda[/mm] = 1
>
> [mm]\gdw \lambda^{3}[/mm] - 2 [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda[/mm] +2= 0
>
> Durch Polynomdivision und danach Anwendung der pq - Formel:
> [mm]\lambda[/mm] = -1
> und [mm]\lambda[/mm] = 2 .
>
Es fehlt noch [mm]\lambda=1[/mm]
> Jetzt zu den Eigenvektoren:
>
> (A - [mm]\lambda I_{3})[/mm] * [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = 0
>
> Für [mm]\lambda[/mm] = a :
>
> [mm]\pmat{ 2 - a & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-2a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+a }[/mm]
> * [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] G2,3 ( 1)
>
>
> [mm]\pmat{ 2 - a & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-2a & 2-a \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Jetzt komme ich nicht weiter, da jetzt ja eigentlich
> [mm]\overrightarrow{v_{3}}[/mm] = t für t [mm]\in \IR[/mm] ist oder nicht?
Für den Fall [mm]a\not=2[/mm] stimmt das.
Alle diese Lösungen sind Vielfache von [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm].
> Schließlich entsteht eine Nullzeile und somit gibt es doch
> unendlich viele Lösungen, aber Wolframalpha hat genau 3
> Vektoren ohne irgend eine Variable drin und das verstehe
> ich nicht?
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower, danke für deine schnelle Antwort =),
>
>
> > Berechnen Sie die Eigenwerte und alle Eigenvektoren.
> >
> > A = [mm]\pmat{ 2 & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a } \in \IR^{3,3}[/mm]
>
> >
> > B = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } \in (\IZ[/mm] /
> > 2 [mm]\IZ)^{3,3}[/mm]
> > Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> >
> > Hallo liebes Forum,
> >
> > könnte bitte jemand das Ganze kontrollieren? Danke =)
> >
> > Zuerst fange ich mit den Eigenwerten an:
> >
> > det ( A - [mm]\lambda I_{3})[/mm] = 0
> >
> > det ( [mm]\pmat{ 2 & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a }[/mm]
> > - [mm]\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda }[/mm]
> > ) = 0
> >
> > [mm]\gdw[/mm] det ( [mm]\pmat{ 2 - \lambda & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a -\lambda & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a -\lambda }[/mm]
> > ) = 0
> >
> >
> > 2 * det ( [mm]\pmat{ 4-a -\lambda & 2-a \\ -4+2a & -2+2a -\lambda }[/mm]
> > ) = 0
> >
> > [mm]\gdw[/mm] 2* ( [mm](4-a-\lambda)(-2+2a-\lambda)[/mm] - (2-a)(-4+2a) ) =
> > 0
> >
> > [mm]\gdw[/mm] 2* ( [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda*[/mm] a - [mm]2*\lambda[/mm] + 2a) = 0
> >
> > [mm]\gdw \lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda*[/mm] a - [mm]2*\lambda[/mm] + 2a = 0
> >
> > [mm]\gdw \lambda[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] - a ) + 2 ( a- [mm]\lambda)[/mm] = 0 ->
> > [mm]\lambda[/mm] = a
> >
> > [mm]\gdw \lambda[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] -2 ) + a ( 2 - [mm]\lambda)[/mm] = 0 ->
> > [mm]\lambda[/mm] = 2
> >
> > Wie kommt man jetzt darauf, dass das 3. [mm]\lambda[/mm] auch gleich
> > 2 ist?
> >
>
>
> Durch den Vorfaktor [mm]2-\lambda[/mm],
> aus dem auf merkwüridge Art nur eine 2 geworden ist.
>
Achso, also folgt einmal aus [mm] \lambda [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] -2 ) , dass [mm] \lambda [/mm] = 2 und einmal aus a ( 2 - [mm] \lambda) [/mm] , dass [mm] \lambda [/mm] = 2 . Aber was meinst du damit, dass " Durch den Vorfaktor [mm]2-\lambda[/mm],
aus dem auf merkwüridge Art nur eine 2 geworden ist."? Wo ist denn nur ne 2 draus geworden?
> >
> > det ( B - [mm]\lambda I_{3})[/mm] = 0
> >
> > det ( [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm] - [mm]\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda }[/mm]
> > ) = 0
> >
> > [mm]\gdw[/mm] det ( [mm]\pmat{ 1 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1 - \lambda }[/mm]
> > ) = 0
> >
> > (1 - [mm]\lambda)[/mm] det [mm](\pmat{ -\lambda & 1 \\ 1 & 1- \lambda }[/mm]
> > ) - det [mm](\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1- \lambda })[/mm] = 0
> >
> > [mm]\gdw[/mm] (1 - [mm]\lambda) (-\lambda[/mm] + [mm]\lambda^{2}[/mm] -1) - (1 -
> > [mm]\lambda)[/mm] = 0
Hier habe ich schon gezeigt, dass [mm] \lambda [/mm] = 1 ;)
> > -> [mm]\lambda[/mm] = 1
> >
> > [mm]\gdw \lambda^{3}[/mm] - 2 [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda[/mm] +2= 0
> >
> > Durch Polynomdivision und danach Anwendung der pq - Formel:
> > [mm]\lambda[/mm] = -1
> > und [mm]\lambda[/mm] = 2 .
> >
>
>
> Es fehlt noch [mm]\lambda=1[/mm]
>
>
> > Jetzt zu den Eigenvektoren:
> >
> > (A - [mm]\lambda I_{3})[/mm] * [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = 0
> >
> > Für [mm]\lambda[/mm] = a :
> >
> > [mm]\pmat{ 2 - a & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-2a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+a }[/mm]
> > * [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = 0
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] G2,3 ( 1)
> >
> >
> > [mm]\pmat{ 2 - a & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-2a & 2-a \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > Jetzt komme ich nicht weiter, da jetzt ja eigentlich
> > [mm]\overrightarrow{v_{3}}[/mm] = t für t [mm]\in \IR[/mm] ist oder nicht?
>
>
> Für den Fall [mm]a\not=2[/mm] stimmt das.
>
> Alle diese Lösungen sind Vielfache von [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm].
Man muss das aber mit angeben oder nicht? Also zum Beispiel bei dem Vektor [mm] \vektor{ - \bruch{1}{2} \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 } [/mm] , muss man doch angeben: t * [mm] \vektor{ - \bruch{1}{2} \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 } [/mm] , t [mm] \in \IR [/mm] oder nicht? Es reicht doch nicht das ganze ohne t anzugeben, da dann nicht ersichtlich ist, dass alle Lösungen Vielfache dieses Vektors sind?
>
>
> > Schließlich entsteht eine Nullzeile und somit gibt es doch
> > unendlich viele Lösungen, aber Wolframalpha hat genau 3
> > Vektoren ohne irgend eine Variable drin und das verstehe
> > ich nicht?
> >
>
>
Liebe Grüße =)
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Hallo Milchschelle,
> Hallo MathePower, danke für deine schnelle Antwort =),
> >
> >
> > > Berechnen Sie die Eigenwerte und alle Eigenvektoren.
> > >
> > > A = [mm]\pmat{ 2 & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a } \in \IR^{3,3}[/mm]
>
> >
> > >
> > > B = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } \in (\IZ[/mm] /
> > > 2 [mm]\IZ)^{3,3}[/mm]
> > > Ich hab diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
> > >
> > > Hallo liebes Forum,
> > >
> > > könnte bitte jemand das Ganze kontrollieren? Danke =)
> > >
> > > Zuerst fange ich mit den Eigenwerten an:
> > >
> > > det ( A - [mm]\lambda I_{3})[/mm] = 0
> > >
> > > det ( [mm]\pmat{ 2 & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a }[/mm]
> > > - [mm]\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda }[/mm]
> > > ) = 0
> > >
> > > [mm]\gdw[/mm] det ( [mm]\pmat{ 2 - \lambda & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-a -\lambda & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+2a -\lambda }[/mm]
> > > ) = 0
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> > >
> > > 2 * det ( [mm]\pmat{ 4-a -\lambda & 2-a \\ -4+2a & -2+2a -\lambda }[/mm]
> > > ) = 0
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> > > [mm]\gdw[/mm] 2* ( [mm](4-a-\lambda)(-2+2a-\lambda)[/mm] - (2-a)(-4+2a) ) =
> > > 0
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> > > [mm]\gdw[/mm] 2* ( [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda*[/mm] a - [mm]2*\lambda[/mm] + 2a) = 0
> > >
> > > [mm]\gdw \lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda*[/mm] a - [mm]2*\lambda[/mm] + 2a = 0
> > >
> > > [mm]\gdw \lambda[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] - a ) + 2 ( a- [mm]\lambda)[/mm] = 0 ->
> > > [mm]\lambda[/mm] = a
> > >
> > > [mm]\gdw \lambda[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] -2 ) + a ( 2 - [mm]\lambda)[/mm] = 0 ->
> > > [mm]\lambda[/mm] = 2
> > >
> > > Wie kommt man jetzt darauf, dass das 3. [mm]\lambda[/mm] auch gleich
> > > 2 ist?
> > >
> >
> >
> > Durch den Vorfaktor [mm]2-\lambda[/mm],
> > aus dem auf merkwüridge Art nur eine 2 geworden ist.
> >
> Achso, also folgt einmal aus [mm]\lambda[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] -2 ) , dass
> [mm]\lambda[/mm] = 2 und einmal aus a ( 2 - [mm]\lambda)[/mm] , dass
> [mm]\lambda[/mm] = 2 . Aber was meinst du damit, dass " Durch den
> Vorfaktor [mm]2-\lambda[/mm],
> aus dem auf merkwüridge Art nur eine 2 geworden ist."? Wo
> ist denn nur ne 2 draus geworden?
Nun, die Determinante hast Du richtig aufgestellt,
dort lautet das erste Diagonalelement [mm]2-\lambda[/mm].
Das [mm]-\lambda[/mm] ist jedoch beim
Entwickeln der Determinante verlorengegangen.
> > >
> > > det ( B - [mm]\lambda I_{3})[/mm] = 0
> > >
> > > det ( [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm] - [mm]\pmat{ \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda }[/mm]
> > > ) = 0
> > >
> > > [mm]\gdw[/mm] det ( [mm]\pmat{ 1 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1 - \lambda }[/mm]
> > > ) = 0
> > >
> > > (1 - [mm]\lambda)[/mm] det [mm](\pmat{ -\lambda & 1 \\ 1 & 1- \lambda }[/mm]
> > > ) - det [mm](\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1- \lambda })[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]\gdw[/mm] (1 - [mm]\lambda) (-\lambda[/mm] + [mm]\lambda^{2}[/mm] -1) - (1 -
> > > [mm]\lambda)[/mm] = 0
>
> Hier habe ich schon gezeigt, dass [mm]\lambda[/mm] = 1 ;)
> > > -> [mm]\lambda[/mm] = 1
>
> > >
> > > [mm]\gdw \lambda^{3}[/mm] - 2 [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]\lambda[/mm] +2= 0
> > >
> > > Durch Polynomdivision und danach Anwendung der pq - Formel:
> > > [mm]\lambda[/mm] = -1
> > > und [mm]\lambda[/mm] = 2 .
> > >
> >
> >
> > Es fehlt noch [mm]\lambda=1[/mm]
> >
> >
> > > Jetzt zu den Eigenvektoren:
> > >
> > > (A - [mm]\lambda I_{3})[/mm] * [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = 0
> > >
> > > Für [mm]\lambda[/mm] = a :
> > >
> > > [mm]\pmat{ 2 - a & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-2a & 2-a \\ 0 & -4+2a & -2+a }[/mm]
> > > * [mm]\overrightarrow{v}[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] G2,3 ( 1)
> > >
> > >
> > > [mm]\pmat{ 2 - a & 2-a & 2-a \\ 0 & 4-2a & 2-a \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Jetzt komme ich nicht weiter, da jetzt ja eigentlich
> > > [mm]\overrightarrow{v_{3}}[/mm] = t für t [mm]\in \IR[/mm] ist oder nicht?
> >
> >
> > Für den Fall [mm]a\not=2[/mm] stimmt das.
> >
> > Alle diese Lösungen sind Vielfache von [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm].
>
> Man muss das aber mit angeben oder nicht? Also zum Beispiel
> bei dem Vektor [mm]\vektor{ - \bruch{1}{2} \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 }[/mm]
> , muss man doch angeben: t * [mm]\vektor{ - \bruch{1}{2} \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 }[/mm]
> , t [mm]\in \IR[/mm] oder nicht? Es reicht doch nicht das ganze
> ohne t anzugeben, da dann nicht ersichtlich ist, dass alle
> Lösungen Vielfache dieses Vektors sind?
Für die Angabe des Eigenvektors reicht die Angabe ohne t.
> >
> >
> > > Schließlich entsteht eine Nullzeile und somit gibt es doch
> > > unendlich viele Lösungen, aber Wolframalpha hat genau 3
> > > Vektoren ohne irgend eine Variable drin und das verstehe
> > > ich nicht?
> > >
> >
> >
> Liebe Grüße =)
Gruss
MathePower
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Danke für deine Hilfe , das mit der Determinante habe ich übersehen, aber das ändert ja an dem Ergebnis Nichts.
Auf [mm] \vektor{- \bruch{1}{2} \\ - \bruch{1}{2} \\ 1 } [/mm] kommt man, wenn man für Lambda = a einsetzt.
LG Milchschelle
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