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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 23.08.2005 | | Autor: | CPH |
Hallo!
Ich muss leider aufgrund meiner defiztären Kenntnisse, welche ich aus der Stufe 12 in die 13 "gerettet" habe mich nun ausgiebiger mit der Vektorrechnung beschäftigen.
Gegeben sind in meinem Material (Lambacher Schweizer Lineare algebra mit analytischer Geometrie, Seite 192, ISBN:3-12-732340-9) folgende Angaben:
Gegeben ist eine affine Abbildung [mm] \alpha: \vec{x'}=A*\vec{x} [/mm] mit [mm] A=\pmat{ a1 & a2 \\ b1 & b2 }
[/mm]
und eine Ursprungsgerade [mm] g:\vec{x}=t\vec{u} [/mm] mit [mm] \vec{u}= \vektor{u1 \\ u2} \not=\vec{o}
[/mm]
SOWEIT IST NOCH ALLES KLAR!
Dann ist [mm] A*\vec{u} [/mm] ein Richtungsvektor für die Bildgerade g'. Ist g Fixgerade, so muss [mm] A*\vec{u} [/mm] ein Vielfaches von [mm] \vec{u} [/mm] sein. In diesem Fall gibt es also eine reelle Zahl [mm] \lambda, [/mm] so dass [mm] A*\vec{u}=\lambda*\vec{u}, [/mm] bzw. [mm] A*\vec{u}-\lambda*\vec{u}=\vec{o}
[/mm]
AUCH NOCH KLAR ABER JETZT KOMMT'S!
Das ist gleichbedeutend mit [mm] \pmat{ a1-\lambda & a2 \\ b1 & b2-\lambda }*\vec{u}=\vec{o} [/mm] bzw [mm] \begin{cases} (a1-\lambda) *u1+b1*u2=0\\ a2u1+(b2-\lambda)u2=0 \end{cases}
[/mm]
Warum ist das gleichbedeutend???
Vielen Dank schon im Voraus
CPH
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 23.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich antworte wirklich nur mal auf das, was dir nicht klar zu sein scheint:
> [mm]A*\vec{u}-\lambda*\vec{u}=\vec{o}[/mm]
> AUCH NOCH KLAR ABER JETZT KOMMT'S!
> Das ist gleichbedeutend mit [mm]\pmat{ a1-\lambda & a2 \\ b1 & b2-\lambda }*\vec{u}=\vec{o}[/mm]
Also zuerst mal : ein Vektor v kann man ja auch als 1*v schreiben, das geht sogar, wenn die "1" jetzt eine Matrix ist - nämlich die Einheitsmatrix, denn es gilt: [mm] $\vec{v}=\pmat{1&0\\0&1}*\vec{v}$
[/mm]
Außerdem gilt für eine relle Zahl r, dass [mm] $r*\pmat{1&0\\0&1}=\pmat{r&0\\0&r}$
[/mm]
Wenn du dies also mit deinem Vektor u ersetzt und dann ergibt sich:
[mm] $A*\vec{u}-\lambda*\vec{u}=\vec{o}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] $
[mm] $A*\vec{u}-\lambda*\pmat{1&0\\0&1}\vec{u}=\vec{o}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] $
[mm] $A*\vec{u}-\pmat{\lambda &0\\0&\lambda }\vec{u}=\vec{o}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] $
[mm] $\left( A-\pmat{\lambda &0\\0&\lambda }\right) [/mm] * [mm] \vec{u}=\vec{o}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] $
[mm] $\pmat{ a1-\lambda & a2 \\ b1 & b2-\lambda }*\vec{u}=\vec{o}$
[/mm]
> bzw [mm]\begin{cases} (a1-\lambda) *u1+b1*u2=0\\ a2u1+(b2-\lambda)u2=0 \end{cases}[/mm]
dies ist ja dann nur das resultierende System, wenn du zeilenweise das Produkt von Matrix und u betrachtest.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:03 Mi 24.08.2005 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank,
das wird mir sicherlich helfen!
MFG,
CPH
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