Eigenwerte und Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:15 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Kjetil |
| Aufgabe | Sei A eine quadratische n x n Matrix und [mm] \{a_1, ..., a_k\}[/mm] linear unabhängige Eigenvektoren von A mit zugehörigen Eigenwerten [mm] \lambda_1, ..., \lambda_k[/mm].
Zeigen sie: Ist v = [mm] \sum_{i=1}^k \alpha_j a_i[/mm] ein Eigenvektor mit Av = [mm]\beta[/mm]v, so gilt [mm]\lambda_i[/mm] = [mm]\beta [/mm] für alle [mm]\{i | \alpha_i \ne 0 \}[/mm] |
Also ich muss ehrlich zugeben, ich hab keine Ahnung was ich da beweisen soll.
Meiner Meinung nach muss doch bei einem Eigenvektor gelten:
v = [mm] \sum_{i=1}^k \alpha_j a_i[/mm]*A = [mm]\beta[/mm]*[mm] \sum_{i=1}^k \alpha_j a_i[/mm] oder??
Aber dann wäre die Aussage trivial oder hab ich nur was falsch verstanden?
Wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir einen Tipp geben könntet, denn so einfach diese Aufgabe auch klingen mag, ich komm leider nicht weiter.
Danke schon mal im Vorraus für eure Hilfe
Kjetil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Sa 29.04.2006 | | Autor: | huck |
Hallo,
hier mein Weg: [mm] A*v=A(\sum_{i=1}^n \alpha_i*a_i)=\sum_{i=1}^n \alpha_i*A(a_i)=\sum_{i=1}^n \alpha_i*\lambda_i*a_i=\beta*\sum_{i=1}^n \alpha_i*a_i [/mm]
Aus der letzten Gleichheit folgt die Behauptung
gruss huck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Kjetil |
Wow danke für die schnelle und nette Hilfe, zugegeben da hät ich auch drauf kommen können, aber war scheinbar auf dem Schlauch gestanden XD.
Nochmal danke dir.
Lg Kjetil
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