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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Di 22.12.2015 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | Es sei $K$ [mm] \in \{\IR, \IC \} [/mm] und [mm] \{e_1,e_2,e_3 \} [/mm] die Standardbasis des [mm] K^3. [/mm] Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren des Endomorphismus [mm] L_k: K^3 \to K^3, [/mm] der durch
[mm] L_k(e_1)=e_2, L_k(e_2)=e_3 [/mm] und [mm] L_k(e_3)=e_1 [/mm] festgelegt ist. |
Hallo,
ich habe obige Aufgabe als Übung erhalten und möchte wissen, was ihr von meiner Lösung haltet:
Aus [mm] L_k(e_1)=e_2, L_k(e_2)=e_3, L_k(e_3)=e_1 [/mm] folgt die darstellende Matrix bzgl. der Basis [mm] \{e_1,e_2,e_3\}: [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm]
Jetzt sei [mm] v=\vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3} \in K^3.
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} \vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3}.
[/mm]
Daraus folgt: [mm] v_3=\lambda v_1
[/mm]
[mm] v_1=\lambda v_2
[/mm]
[mm] v_2=\lambda v_3
[/mm]
und daraus folgt wiederum: [mm] \lambda [/mm] = 1 und v = [mm] \vektor{ w \\ w \\ w} [/mm] mit w [mm] \in [/mm] K.
Also ist der Eigenwert 1 und die Eigenvektoren alle Vektoren mit der Form [mm] \vektor{ w \\ w \\ w} [/mm] wobei w [mm] \not= [/mm] 0.
Zumindest für den Fall [mm] K=\IR [/mm] sollte das doch stimmen, oder ?
Liebe Grüße
Manu271
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mi 23.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]K[/mm] [mm]\in \{\IR, \IC \}[/mm] und [mm]\{e_1,e_2,e_3 \}[/mm] die
> Standardbasis des [mm]K^3.[/mm] Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte
> und Eigenvektoren des Endomorphismus [mm]L_k: K^3 \to K^3,[/mm] der
> durch
> [mm]L_k(e_1)=e_2, L_k(e_2)=e_3[/mm] und [mm]L_k(e_3)=e_1[/mm] festgelegt
> ist.
> Hallo,
>
> ich habe obige Aufgabe als Übung erhalten und möchte
> wissen, was ihr von meiner Lösung haltet:
>
> Aus [mm]L_k(e_1)=e_2, L_k(e_2)=e_3, L_k(e_3)=e_1[/mm] folgt die
> darstellende Matrix bzgl. der Basis [mm]\{e_1,e_2,e_3\}:[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Jetzt sei [mm]v=\vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3} \in K^3.[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} \vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3}[/mm]
> = [mm]\lambda \vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3}.[/mm]
> Daraus folgt:
> [mm]v_3=\lambda v_1[/mm]
> [mm]v_1=\lambda v_2[/mm]
>
> [mm]v_2=\lambda v_3[/mm]
> und daraus folgt wiederum: [mm]\lambda[/mm] = 1
> und v = [mm]\vektor{ w \\ w \\ w}[/mm] mit w [mm]\in[/mm] K.
>
> Also ist der Eigenwert 1 und die Eigenvektoren alle
> Vektoren mit der Form [mm]\vektor{ w \\ w \\ w}[/mm] wobei w [mm]\not=[/mm]
> 0.
>
> Zumindest für den Fall [mm]K=\IR[/mm] sollte das doch stimmen, oder
> ?
Ja, in diesem Fall bist Du fertig.
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Manu271
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