Eigenwerte und Eigenräume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Sa 16.01.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Gegeben seien der Vektorraum [mm] \IR\le2[x], [/mm] die lineare Abbildung L : [mm] \IR\le2[x] \to \IR\le2[x], [/mm] sowie die
folgenden Bilder von L :
[mm] $L(x^2+x)= [/mm] x+1, L(x+1)=5x+5, [mm] L(x^2+1)= -x^2-1$.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der linearen Abbildung L.
b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix LB von L bzgl. der Basis
B = [mm] {x^2 + x, x + 1, x^2 + 1}.
[/mm]
c) Bestimmen Sie das charakterisische Polynom von L.
d) Ist L eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung? |
a) zu L(x+1)=5x+5 ist der EW 5
zu [mm] L(x^2+1)= -x^2-1 [/mm] ist der EW -1
aber ich weiß jetzt nicht, wie man das für [mm] L(x^2+x)= [/mm] x+1 macht, hab jetzt nur erkannt, dass [mm] 5*L(x^2+x)=L(x+1) [/mm] ist.
Wir haben bis jetzt nur EW, EV und Eigenräume von Matrizen gemacht, wüsste leider nicht, wie man das für Polynome macht.
b) ist [mm] L_B= [/mm] [mm] \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
1 & 5 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix} [/mm] ?
zu c) und d) hab ich leider nichts, da ich nicht weiß, wie ich L bestimmen kann, meine Idee war, dass man [mm] L_B [/mm] irgendwie benutzen kann.
|
|
| |
|
> Gegeben seien der Vektorraum [mm]\IR\le2[x],[/mm] die lineare
> Abbildung L : [mm]\IR\le2[x] \to \IR\le2[x],[/mm] sowie die
> folgenden Bilder von L :
>
> [mm]L(x^2+x)= x+1, L(x+1)=5x+5, L(x^2+1)= -x^2-1[/mm].
>
> a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen
> Eigenräume der linearen Abbildung L.
>
> b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix LB von L bzgl. der
> Basis
> B = [mm]{x^2 + x, x + 1, x^2 + 1}.[/mm]
>
> c) Bestimmen Sie das charakterisische Polynom von L.
>
> d) Ist L eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung?
> a) zu L(x+1)=5x+5 ist der EW 5
Du meinst dies: [mm] v_1:=x+1 [/mm] ist eine Eigenvektor zum Eigenwert 5
> zu [mm]L(x^2+1)= -x^2-1[/mm] ist der EW -1
[mm] v_3:=x^2+1 [/mm] ist ein EW -1.
> aber ich weiß jetzt nicht, wie man das für [mm]L(x^2+x)=[/mm]
> x+1 macht,
Der Vektor [mm] v_2:=x^2+x [/mm] ist jedenfalls kein Eigenvektor, denn er wird nicht auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet.
Als Grundlage für weiter Überlegungen kann man sich nun die Frage stellen: gibt es einen weiteren Eigenvektor/Eigenwert, und wie finde ich das ggf. heraus?
> hab jetzt nur erkannt, dass [mm]5*L(x^2+x)=L(x+1)[/mm]
> ist.
> Wir haben bis jetzt nur EW, EV und Eigenräume von
> Matrizen gemacht, wüsste leider nicht, wie man das für
> Polynome macht.
>
> b) ist [mm]L_B=[/mm] [mm]\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
1 & 5 & 0\\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}[/mm] ?
Genau.
Im Hinblick auf die oben gestellte Frage kann man jetzt zweierlei tun:
1. Bestimme die Eigenwerte dieser Matrix. Es sind nämlich die Eigenwerte von L
(Du wirst einen weiteren Eigenwert finden. über den zugehörigen Eigenvektor kannst Du Dir dann auch gleich Gedanken machen...)
2. Du siehst, daß diese Matrix den Rang 2 hat. Was sagt Dir das über den Kern von L?
Was hat der Kern mit Eigenvektoren zu tun?
>
> zu c) und d) hab ich leider nichts, da ich nicht weiß, wie
> ich L bestimmen kann, meine Idee war, dass man [mm]L_B[/mm]
> irgendwie benutzen kann.
Das charakteristische Polynom einer Linearen Abbildung ist das charakteristische Polynom seiner Darstellungsmatrix bzgl. irgendeienr Basis, das sollte sich in Deiner Mitschrift finden.
Woran erkennt man die Injektivität einer linearen Abbildung?
Welche Dimension hat das Bild einer surjektiven Abbildung?
Was hat der Rang der Darstellungsmatrix mit der Dimension des Bildes zu tun?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 16.01.2010 | | Autor: | johnyan |
ok, vielen dank, da ich jetzt weiß, dass ich [mm] L_B [/mm] für die teilaufgaben benutzen kann, ist es viel einfacher.
a) ja, hab mich falsch ausgedrückt, natürlich ist x+1 ein EV zum EW 5, [mm] x^2+1 [/mm] ein EV zum EW -1, und [mm] x^2+x [/mm] ist kein EV. Der dritte EW ist 0.
Eigenraum zum EW 0 ist [mm] span\left\{ \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}
[/mm]
Eigenraum zum EW -1 ist [mm] span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}
[/mm]
Eigenraum zum EW 5 ist [mm] span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}
[/mm]
b) hatte ich ja schon
c) [mm] P_L(\lambda)=-\lambda(5-\lambda)(-1-\lambda)
[/mm]
d) [mm] det(L_B)=0, [/mm] Kern(L) hat also mehr als nur den Nullvektor drin, also ist L nicht injektiv.
bei der dimension des bildes bin ich mir nicht ganz sicher, ist der Rang = dim Bild? wenn das so ist, ist dim Bild(L) = [mm] 2\not [/mm] 3, also nicht surjektiv
und da L nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.
|
|
|
| |
|
> ok, vielen dank, da ich jetzt weiß, dass ich [mm]L_B[/mm] für die
> teilaufgaben benutzen kann, ist es viel einfacher.
>
> a) ja, hab mich falsch ausgedrückt, natürlich ist x+1 ein
> EV zum EW 5, [mm]x^2+1[/mm] ein EV zum EW -1, und [mm]x^2+x[/mm] ist kein EV.
> Der dritte EW ist 0.
>
> Eigenraum zum EW 0 ist [mm]span\left\{ \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
> Eigenraum zum EW -1 ist [mm]span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
> Eigenraum zum EW 5 ist [mm]span\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
Hallo,
Du hast richtig gerechnet, aber ich fürchte, daß Deine Chefs vielleicht nicht ganz zufrieden sein werden...
Wir müssen die Ergebnisse interpretieren:
die Vektoren, die Du hier erhältst, sind Koordinatenvektoren bzgl. der Basis B, was Du mindestens noch mit dem Index B an den vektoren kennzeichnen solltest,
aber ich denke, daß es entschieden besser ist, wenn Du (zusätzlich) die Eigenvektoren als Polynome angibst, denn L wirkt ja nunmal auf Polynome.
>
> b) hatte ich ja schon
>
> c) [mm]P_L(\lambda)=-\lambda(5-\lambda)(-1-\lambda)[/mm]
[mm] =\lambda( \lambda-5)(\lambda+1)
[/mm]
>
> d) [mm]det(L_B)=0,[/mm] Kern(L) hat also mehr als nur den Nullvektor
> drin, also ist L nicht injektiv.
Genau.
> bei der dimension des bildes bin ich mir nicht ganz
> sicher, ist der Rang = dim Bild?
Ja.
> wenn das so ist, ist dim
> Bild(L) = [mm]2\not[/mm] 3, also nicht surjektiv
Genau.
>
> und da L nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.
Ja.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 So 17.01.2010 | | Autor: | johnyan |
ok, also zusätzlich noch angeben:
[mm] -5x^2-4x+1 [/mm] ist ein EV zum EW 0
die anderen 2 EV habe ich ja schon angegeben, und danke für deine hilfe!
|
|
|
| |
|
> ok, also zusätzlich noch angeben:
>
> [mm]-5x^2-4x+1[/mm] ist ein EV zum EW 0
Hallo,
ja, der ist der dritte im Bunde.
Gruß v. Angela
>
> die anderen 2 EV habe ich ja schon angegeben, und danke
> für deine hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 18.01.2010 | | Autor: | burns25 |
In Aufgabenteil a ist doch nach den Eigenwerten gefragt und den Eigenraeumen gefragt.Wie komme ich da rechnerisch drauf?ich verstehe warum die einzelnen eigenwerte so sind,jedoch das kochrezept zum berechnen fehlt mir. ich weiss halt auch nicht wie ich diese polynom handlen muss? koennte ihr mir evtl diesbezueglich weiterhelfen und es evtl mit bezug auf matrizen erklaeren falls es da ien zusammenhang geben sollte?!
|
|
|
| |
|
> Gegeben seien der Vektorraum [mm]\IR\le2[x],[/mm] die lineare
> Abbildung L : [mm]\IR\le2[x] \to \IR\le2[x],[/mm] sowie die
> folgenden Bilder von L :
>
> [mm]L(x^2+x)= x+1, L(x+1)=5x+5, L(x^2+1)= -x^2-1[/mm].
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> In Aufgabenteil a ist doch nach den Eigenwerten gefragt und
> den Eigenraeumen gefragt.Wie komme ich da rechnerisch
> drauf?ich verstehe warum die einzelnen eigenwerte so
> sind,jedoch das kochrezept zum berechnen fehlt mir.
Schau Dir an, wie der Kommilitone das bei dem zunächst noch fehlenden Eigenwert macht:
über die darstellende Matrix der Abbildung, die Koordinatenvektoren anschließend wieder in Polynome umwandeln.
Kurz:
Eigenwerte: Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix
Eigenvektoren: Kern von [mm] A-\lambda [/mm] E
Ansonsten mußt Du [mm] L(v)=\lambda [/mm] v lösen,
mit der hier verwendeten Basis also
L( [mm] a(x^2+x)+b(x+1)+c(x^2+1))=\lambda*( a(x^2+x)+b(x+1)+c(x^2+1))
[/mm]
Gruß v. Angela
ich
> weiss halt auch nicht wie ich diese polynom handlen muss?
> koennte ihr mir evtl diesbezueglich weiterhelfen und es
> evtl mit bezug auf matrizen erklaeren falls es da ien
> zusammenhang geben sollte?!
>
>
|
|
|
| |
|
wie kommt er auf das ergebnis bei b)
also wie löst man die darstellende matrix???
|
|
|
| |
|
> wie kommt er auf das ergebnis bei b)
> also wie löst man die darstellende matrix???
Hallo,
.
Hier ist keine Matrix zu "lösen" (was soll das bedeuten?),
sondern es ist eine Matrix zu bestimmen, nämlich
die darstellende Matrix von L bzgl. der Basis $B = [mm] (x^2 [/mm] + x, x + 1, [mm] x^2 [/mm] + 1).$
Zum Aufstellen der darstellenden Matrix bzgl der Basis B hilft dieser Spruch:
"In den Spalten der Darstellungsmatrix von L bzgl der Basis B stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B."
Du mußt also erstmal die Bilder der Basisvektoren (unter L) als Linearkombination der Basisvektoren von B schreiben. Die Koeffizienten "stapeln" ergibt die jeweilige Spalte der Matrix
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 So 30.06.2013 | | Autor: | sakhr |
Hallo :)
Also ich habe eigentlich nicht verstanden wir ihr in teil b) mit dem span {-5,1,0}gekommen, ich meine wie habt ihr die -5 und 1 herausgefunden??!!!
Waere echt dankbar fuer eine schnelle Antwort :)
|
|
|
| |
|
Hallo,
man hat eine Matrix $ [mm] L_B= [/mm] $ $ [mm] \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 5 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} [/mm] $, welche die lineare Abbildung L, welche aus dem Raum der Polynome in den Raum der Polynome abbildet, bzgl. der Basis [mm] B:=(x^2 [/mm] + x, x + 1, [mm] x^2 [/mm] +1) darstellt.
Die Matrix hat die Eigenwerte 0, -1 und 5.
Hat eine Matrix A den Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] so bekommt man den zugehörigen Eigenraum, indem man
[mm] Kern(A-\lambda [/mm] E) berechnet.
Hier wurde also [mm] Kern(L_B-0*E)=Kern(L_B) [/mm] berechnet, dh. es wurde das homogene LGS [mm] L_B*x=0 [/mm] gelöst.
Das macht man normalerweise mit den Gaußverfahren. Hier ist nicht viel zu tun:
[mm] \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ \1 & 5 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} [/mm] --> [mm] \begin{bmatrix} \red{1} & 5 & 0\\ 0 & 0 & \red{-1}\\0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.
[/mm]
Die Matrix ist nun bereits in Zeilenstufenform.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) sind in der 1. und 3. Spalte.
Also kann man die 2. Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_2=t
[/mm]
bekommt man aus der 2.Zeile
[mm] -x_3=0, [/mm] dh.
[mm] x_3=0,
[/mm]
und aus der 1.Zeile
[mm] x_1+5x_2=0, [/mm] also
[mm] x_1=-5x_2=-5t.
[/mm]
Damit haben alle Lösungen die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-5t\\t\\0}=t*\vektor{-5\\1\\0}.
[/mm]
[mm] \vektor{-5\\1\\0} [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 0.
Bedenken muß man hier, daß [mm] \vektor{-5\\1\\0} [/mm] ein Koordinatenvektor bzgl B. ist:
[mm] \vektor{-5\\1\\0}_{(B)}=-5*(x^2+x)+1*(x+1)+0*(x^2+1)=-5x^2-4x+1,
[/mm]
und dieses Polynom spannt den Eigenraum zum Eigenweert 0 der Abbildung L auf.
LG Angela
|
|
|
|
