Eigenwerte und EV < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Sei [mm] v_1,...,v_4 [/mm] Basis eines reellen Vektorraums.
[mm] f:V\rightarrow [/mm] V mit [mm] f(v_i)=v_{i+1} [/mm] für [mm] 1\leq i\leq [/mm] 3 und [mm] f(v_4)=1.
[/mm]
Bestimme alle Eigenwerte und Eigenvektoren. |
Hallo,
mal eine kurze, übersichtlichere Aufgabe.
Für Eigenwerte brauche ich das charakteristische Polynom.
Wenn ich die Darstellungsmatrix meiner Basis betrachte, so erhalte ich:
[mm] M=(v_2,v_3,v_4,v_1).
[/mm]
Doch wie komme ich nun näher an meine Eigenwerte?
Ich berechne eigtl. [mm] det(\lambda [/mm] E-M). Das geht aber hier so schlecht oder?
Wo liegt der Knackpunkt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 23.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nimm doch einfach den [mm] \IR^4 [/mm] mit der Standardbasis als Repraesentant von V dann ist es ganz einfach.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Di 23.06.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> Nimm doch einfach den [mm]\IR^4[/mm] mit der Standardbasis als
> Repraesentant von V dann ist es ganz einfach.
> gruss leduart
Ja daran hatte ich auch schon gedacht. Aber darf man das so einfach. Dann bekomme ich doch Eigenwerte heraus die nur für meine kanonische Basis gelten oder? Andererseits müsste ja jeder Darstellungsmatrix bzgl einer anderen Basis zu meiner Matrix M ähnlich sein, also das gleiche charakteristische Polynom habe. Womit meine obige Frage mit Nein beantwortet werden könnte oder?
Muss man das Ergebnis bzgl. der kanonischen Basis noch irgendwie verallgemeinern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:56 Di 23.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Also die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis [mm] $\{v_i\}_{1\le i\le 4}$ [/mm] ist [mm] $$\pmat{0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0}$$ [/mm] Jetzt rechne einfach davon erstmal die Eigenwerte und Eigenvektoren aus. Dass man das so machen kann, lässt sich so erklären:
Nach Wahl der Basis [mm] $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ [/mm] hast du V und [mm] $\IR^4$ [/mm] kanonisch durch die lineare Abbildung [mm] $\Phi(v_i):=e_i$ [/mm] identifiziert. Es gibt genau eine lineare Abbildung [mm] $A:\IR^4\to\IR^4$ [/mm] mit [mm] $f=\Phi^{-1}\circ A\circ\Phi$ [/mm] (nämlich [mm] $A:=\Phi\circ f\circ\Phi^{-1}$ [/mm]  ) und damit gilt, weil [mm] $\Phi$ [/mm] linear [mm] ist$$A(v)=\lambda v\gdw f(\Phi^{-1}(v))=\lambda\Phi^{-1}(v)$$ [/mm] Damit haben wir gezeigt: [mm] \lambda [/mm] ist genau dann Eigenwert von A, wenn [mm] \lambda [/mm] einer von f ist und v ist genau dann Eigenvektor von A, wenn [mm] $\Phi^{-1}(v)$ [/mm] einer von f ist.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:22 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]v_1,...,v_4[/mm] Basis eines reellen Vektorraums.
> [mm]f:V\rightarrow[/mm] V mit [mm]f(v_i)=v_{i+1}[/mm] für [mm]1\leq i\leq[/mm] 3 und
> [mm]f(v_4)=1.[/mm]
>
> Bestimme alle Eigenwerte und Eigenvektoren.
> Hallo,
>
> mal eine kurze, übersichtlichere Aufgabe.
> Für Eigenwerte brauche ich das charakteristische Polynom.
> Wenn ich die Darstellungsmatrix meiner Basis betrachte, so
> erhalte ich:
> [mm]M=(v_2,v_3,v_4,v_1).[/mm]
> Doch wie komme ich nun näher an meine Eigenwerte?
> Ich berechne eigtl. [mm]det(\lambda[/mm] E-M). Das geht aber hier
> so schlecht oder?
> Wo liegt der Knackpunkt?
Mach es so wie pelzig es vorgeschlagen hat, oder geh einfach auf die Def. zurück:
Sie [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert und v ein zugehöriger Eigenvektor, also
$v [mm] \not=0 [/mm] $ und $v = [mm] \alpha_1v_1+ \alpha_2v_2+ \alpha_3v_3+ \alpha_4v_4$
[/mm]
Aus [mm] $f(v)=\lambda [/mm] v$ folgt dann:
$ [mm] \alpha_4 =\lambda \alpha_1, \alpha_1 =\lambda \alpha_2, \alpha_2 =\lambda \alpha_3, \alpha_3 =\lambda \alpha_4$
[/mm]
Hieraus folgt dann:
[mm] $\alpha_4 \not=0$ [/mm] und [mm] $\alpha_4 [/mm] = [mm] \lambda \alpha_1= \lambda^2 \alpha_2= \lambda^3 \alpha_3= \lambda^4 \alpha_4$
[/mm]
folglich: [mm] $\lambda= \pm1$
[/mm]
Für [mm] $\lambda [/mm] = 1$ ergibt sich $v = [mm] v_1+v_2+v_3+v_4$
[/mm]
Für [mm] $\lambda [/mm] = -1$ ergibt sich $v = [mm] v_1-v_2+v_3-v_4$
[/mm]
FRED
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