Eigenwerte und -vektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mo 08.01.2007 | | Autor: | fisch000 |
| Aufgabe | Berechne die Eigenwerte und -vektoren :
3 1 1
2 4 2
1 1 3 |
Hallo Leute,
das Berechnen der Eigenwerte ist kein Problem, aber die Eigenvektoren bringen mich hier zur Verzweiflung. Als Eigenwerte habe ich 2 und 6 berechnet und diese dann jeweils eingestzt, wmit ich dann folgende Matrizen habe.
1 1 1 -3 1 1
2 2 2 2 -2 2
1 1 1 1 1 -3
Mir ist bekannt das man diese Matrizen mit dem Nullvektor gleichsetzten muss. Das Problem nun ist, wenn ich die Matrizen in Dreiecksform bringe erhalte ich in der 1. zwei Nullzeilen und in der 2. eine Nullzeile. Aber wie gehts nun weiter. Hoffe das hier jemand so nett ist und mir erklären könnte wie man das Ganze löst.
Mfg fisch
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> Berechne die Eigenwerte und -vektoren :
> 3 1 1
> 2 4 2
> 1 1 3
> Hallo Leute,
> das Berechnen der Eigenwerte ist kein Problem, aber die
> Eigenvektoren bringen mich hier zur Verzweiflung. Als
> Eigenwerte habe ich 2 und 6 berechnet und diese dann
> jeweils eingestzt, wmit ich dann folgende Matrizen habe.
> 1 1 1 -3 1 1
> 2 2 2 2 -2 2
> 1 1 1 1 1 -3
>
> Mir ist bekannt das man diese Matrizen mit dem Nullvektor
> gleichsetzten muss. Das Problem nun ist, wenn ich die
> Matrizen in Dreiecksform bringe erhalte ich in der 1. zwei
> Nullzeilen und in der 2. eine Nullzeile. Aber wie gehts nun
> weiter. Hoffe das hier jemand so nett ist und mir erklären
> könnte wie man das Ganze löst.
Hallo,
bei der zweiten Matrix landest Du also bei
1 -1 1
0 -1 2
0 0 0 oder so ähnlich.
Das bedeutet, daß Du eine Variable frei wählen kannst, etwa z=t.
Es ist danny=2z=2t
und x=y-z=2t-t=t
Also [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{1 \\ 2t \\ t}=t\vektor{1 \\ 2 \\ 1}. [/mm] D.h. der von [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] aufgespannte Raum ist der Kern Deiner Matrix.
Bei der ersten Matrix hast Du zwei Zeilen mit Nullen.
1 1 1
0 0 0
0 0 0
Du kannst zwei Variable frei wählen, etw z=s und y=t. Dann ist x=-t-s und
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{-t-s \\ t \\ s}= s\vektor{... \\ ... \\ ...}+t\vektor{...\\ ... \\ ...}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Di 09.01.2007 | | Autor: | fisch000 |
Danke jetzt hab ich es endlich verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe.
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