Eigenwerte spezieller Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:04 Do 07.01.2010 | | Autor: | Beppe |
Hallo Forum,
ich betrachte folgende [mm]2n \times 2n[/mm] Matrix, die aus [mm]n \times n[/mm] großen Unterblöcken besteht:
[mm] L=\begin{pmatrix} 0 & I \\ A & U B U^T \end{pmatrix} [/mm]
0 ist die Nullmatrix, I die Einheitsmatrix, A und B Diagonalmatrizen, deren Einträge [mm]\leq 0[/mm] sind und U eine orthgonale Matrix.
Von dieser speziellen Matrix möchte ich gerne Aussagen über die Eigenwerte machen, zumindest über deren Vielfachheit und Vorzeichen.
Mein Ansatz führt leider ins Leere: Da [mm]tIA=AtI[/mm] gilt, kann ich
[mm]\det(tI-L)=\det(tI(tI-UBU^T)-A)=\det(t^2I - tUBU^T - A)[/mm]
aufstellen. Aber kann man das irgendwie weiter vereinfachen?
Es gilt natürlich [mm]\det(tI-A)=\prod_{i=1}^n(t-t_i)=\prod_{i=1}^n(t-a_{ii})[/mm] und analog [mm]\det(tI-UBU^T)=\prod_{i=1}^n(t-b_{ii})[/mm], aber ich darf doch bestimmt nicht beides einfach oben einsetzen und eine quadratische Gleichung lösen, oder?
Wenn man die oberen und die unteren beiden Blöcke vertauschen würde, hätte man eine obere Dreiecksmatrix. Aber wie ändern sich die Eigenwerte, wenn ich n Zeilenvertauschungen mache?
Wenn man die beiden Extremfälle untersucht ([mm]A=B[/mm] und [mm]A=0[/mm]) kommen einmal nur nichtpositive und einmal positive und negative Eigenwerte raus. Es gibt also einen Punkt, an dem, das System, abhängig von A und B, "kippt", aber wie bestimme ich den, wenn ich nicht einmal die charakteristische Gleichung explizit aufschreiben kann?
Ich komme wirklich nicht weiter und würde mich über Hilfe freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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