Eigenwerte, orthogonale Projek < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:09 Do 16.02.2006 | | Autor: | Mork_ |
| Aufgabe 1 | Sei V ein [mm] \IK-VR [/mm] und [mm] P:V\toV [/mm] eine Projektion. Man beweise die fogenden Ausagen:
a) Alle Eigenwerte von P liegen in {0,1}
b) Es gilt Im(P) ist der Eigenraum zum Eigenwert 1, falls 1 ein Eigenwert ist
c) Ist V endlichdimensional so existiert ein Skalarprodukt, so dass P gerade die orthogonale Projektion auf dem Unterraum Im(P) ist |
| Aufgabe 2 | | Sei V ein endlich dimensionaler [mm] \IR-VR [/mm] von ungerader Dimension. Man zeige, dass jeder Endomorphismus [mm] T:V\toV [/mm] mindestens einen Eigenwert besitzt. |
Hallo !
Ich hätte mindesten eine Idee wie ich die Aufgaben lösen soll.
Die Aufgaben sind Übungsaufgaben aus dem Tutorium und dienen zu Klausur Vorbereitung. Leider konnte ich am Tutorium nicht teilnehmen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Do 16.02.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Mark.
Zu (1a):
Nimm an, [mm] $\lambda\in\IK$ [/mm] sei Eigenwert von $P$ und [mm] $v\in [/mm] V$ Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$. [/mm] Dann ist [mm] $\lambda [/mm] v = P(v) = P(P(v)) = [mm] \lambda^2 [/mm] v$. Betrachte die linke und die rechte Seite. Kannst du die gewünschte Bedingung für [mm] $\lambda$ [/mm] ableiten?
Zu (1b):
Unterteile die Aufgabe in 2 Inklusionen: zeige zuerst, dass [mm] $Eig_{1}(P)\subseteq [/mm] Im(P)$; dies ist besonders einfach, da für alle [mm] $v\in Eig_{1}(P)$ [/mm] ja $P(v)=v$ gilt (Diese Aussage gilt für jeden linearen Operator). Umgekehrt musst du zeigen, dazu wähle ein [mm] $v=f(w)\im [/mm] Im(P)$ und zeige, dass $f(v)=v$ gilt.
Mit (1c) kann ich nichts anfangen.
Zu (2a):
Die Eigenwerte eines Endomorphismus sind genau die Nullstellen seines charakteristischen Polynomes. Der Grad dieses Polynomes entspricht der Dimension des zu Grunde liegenden Vektorraumes. Du musst also zeigen, dass das reelle charakteristische Polynom eine Nullstelle besitzt, wobei vorausgesetzt wird, dass sein Grad ungerade ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Sa 18.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Mork!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem vollständig in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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