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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 So 06.07.2008 | | Autor: | Lat |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix A:= [mm] \pmat{ 3 & 6 & 12\\0 & 6 & 0\\0& -3& -3\\} [/mm]
1. Berechnen Sie die Eigenwerte der linearen Abbildung
A: [mm] \IC^{3}\to\IC^{3}
[/mm]
2. Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert den zugehörigen Eigenraum.
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum auf keiner andere Website gepostet.
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Guten Tag!
Ich habe mal wieder ein Problem und bin auf eure Hilfe angewiesen.
Aufgabe 1. habe ich bereits gelöst ( hoffe ich). Ich habe die Eigenwerte
[mm] z_{1}=0 [/mm] und [mm] z_{2}=3.
[/mm]
Nun hänge ich aber bei Aufgabe 2 fest.
Muss ich, um den Eigenraum zu bestimmen, erst die Eigenvektoren berechnen, wenn ja wie? Ich habe zu dem Thema schon ein bisschen hier im Forum gestöbert und auch ähnliche Aufgaben gefunden, jedoch hab ich sie nicht verstanden. Könnt ihr mir die Berechnung des Eigenraums vllt. Exemplarisch zeigen?
Schönes Wochenende
Lat
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> Aufgabe 1. habe ich bereits gelöst ( hoffe ich). Ich habe
> die Eigenwerte
> [mm]z_{1}=0[/mm] und [mm]z_{2}=3.[/mm]
Diese Eigenwerte habe ich nicht raus.
Zum Bestimmen der Eigenwerte musst du die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
[mm] \chi_{A}(\lambda) [/mm] = [mm] \det(A-\lambda [/mm] E)
bestimmen. Ich rate, zur Bestimmung der Determinante den Laplace'schen Entwicklungssatz zu benutzen und nach der ersten Spalte zu entwickeln, dann ist es ganz einfach und du erhältst ein schon vollständig faktorisiertes Polynom, bei welchem du die Nullstellen nur noch ablesen musst. (Es sind 3 verschiedene)
> Nun hänge ich aber bei Aufgabe 2 fest.
>
> Muss ich, um den Eigenraum zu bestimmen, erst die
> Eigenvektoren berechnen, wenn ja wie?
Das ist richtig, du kommst nicht um die Bestimmung der Eigenvektoren herum.
Eigenvektoren haben die Eigenschaft, dass sie, wenn auf sie die Abbildung A angewendet wird, nur um einen Faktor gestaucht bzw. gestreckt werden. Dieser Faktor ist der Eigenwert. Es gilt also für Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und zugehörigen Eigenvektor v:
[mm]Av = \lambda v[/mm]
Das kannst du umstellen (was ihr sicher auch zur Herleitung gemacht habt:
[mm]\gdw Av-\lambda v = o[/mm]
[mm]\gdw (A-\lambda E)*v = o[/mm]
Die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] kennst du nun ja aufgrund obiger Berechnung schon; Du willst nun also die zugehörigen Eigenvektoren v herausbekommen. Und wie du leicht siehst, handelt es sich oben im Grunde um ein LGS, dessen Lösungen gerade die Eigenvektoren v sind. Man sagt: Der zugehörige Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] ist die Lösungsmenge des LGS [mm]\gdw (A-\lambda E)*v = o[/mm].
Löse also das LGS z.B. mit dem Gauß-Algorithmus und bestimme alle möglichen Lösungsvektoren v, dann hast du gleichzeitig auch den Eigenraum bestimmt. Ich mach das mal für den Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 3 vor:
[mm](A-\lambda E)*v = o[/mm]
[mm]\gdw \left(\pmat{ 3 & 6 & 12 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & -3 & -3 }-\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }\right)*v = o[/mm]
[mm]\gdw \pmat{ 0 & 6 & 12 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & -6 }*v = o[/mm]
Umschreiben in erweiterte Koeffizientenmatrix:
[mm] \pmat{ 0 & 6 & 12 & | & 0 \\ 0 & 3 & 0 & | & 0 \\ 0 & -3 & -6 & | & 0}
[/mm]
[mm](-2)*Zeile2 + Zeile1 \to Zeile1[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 12 & | & 0 \\ 0 & 3 & 0 & | & 0 \\ 0 & -3 & -6 & | & 0}
[/mm]
Noch ein bissel umformen:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0}
[/mm]
Da wir eine Nullzeile haben, wählen wir einen freien Parameter [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \mu.
[/mm]
Aus der erweiterten Koeffizientenmatrix ergibt sich außerdem [mm] v_{2} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] = 0, d.h. alle Lösungsvektoren v haben die Form
v = [mm] \vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{\mu\\0\\0}
[/mm]
D.h., der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda=3 [/mm] ist
[mm]Eig_{3}(A) = \left\{\mu*\vektor{1\\0\\0}\Big|\mu\in\IC\right\}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 So 06.07.2008 | | Autor: | Lat |
Danke für deine schnelle Antwort. Sie war sehr hilfreich.
Ich habe gerade gesehen, dass ich A falsch abgeschrieben habe.
Sie muss eigentlich folgendermaßen lauten: [mm] A=\pmat{ 3 & 6 & 12 \\ 0 & 6 & 6 \\ 0 & -3 & -3 }
[/mm]
Dann stimmen wahrscheinlich auch meine Eigenwerte!
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Hallo!
Ja, dann sind die Eigenwerte
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 mit alg. Vielfachheit 2
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 0 mit alg. Vielfachheit 1
Aber egal, ob das jetzt diese sind oder andere  Das Vorgehen ist dasselbe.
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Lat |
So ich habe jetzt die Eigenräume für die Eigenwerte bestimmt. Meine Lösungen sehen folgendermaßen aus:
$ [mm] Eig_{3}(A) [/mm] = [mm] \left\{\cdot{}\vektor{\mu\\-2\Gamma\\\Gamma}\Big|\mu, \Gamma\in\IC\right\} [/mm] $
und
$ [mm] Eig_{0}(A) [/mm] = [mm] \left\{\mu\cdot{}\vektor{-2\\-1\\1}\Big|\mu\in\IC\right\} [/mm] $
Ich habe so das Gefühl, dass der erste Eigenraum nicht stimmt. Leider habe ich keinen Fehler gefunden. Es müssen doch zwei Werte frei gewählt werden, oder nicht?
So und gleich die nächste Frage: Die allgebraische Vielfachheit für
$ [mm] \lambda [/mm] $=3 beträgt ja 2. Wie komme ich auf den zweiten Eigenvektor und zu guter letzt, wie berechne ich die geometrische Vielfachheit?
Vielen Dank für eure Hilfe schonmal im Voraus!
Mfg Lat
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> So ich habe jetzt die Eigenräume für die Eigenwerte
> bestimmt. Meine Lösungen sehen folgendermaßen aus:
>
> [mm]Eig_{3}(A) = \left\{\cdot{}\vektor{\mu\\-2\Gamma\\\Gamma}\Big|\mu, \Gamma\in\IC\right\}[/mm]
>
> und
> [mm]Eig_{0}(A) = \left\{\mu\cdot{}\vektor{-2\\-1\\1}\Big|\mu\in\IC\right\}[/mm]
>
> Ich habe so das Gefühl, dass der erste Eigenraum nicht
> stimmt. Leider habe ich keinen Fehler gefunden.
Hallo,
es gibt keinen Fehler.
Es ist
[mm] Eig_{3}(A) [/mm] = [mm] \left\{\cdot{}\vektor{\mu\\-2\Gamma\\\Gamma}\Big|\mu, \Gamma\in\IC\right\}=Eig_{3}(A) [/mm] = [mm] \left\{\cdot{}\mu\vektor{1\\0\\0}+\Gamma\vektor{0\\-2\\1}\Big|\mu, \Gamma\in\IC\right\},
[/mm]
.
> und zu guter letzt, wie berechne ich die
> geometrische Vielfachheit?
Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraumes.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Lat |
Danke! Wenns keine Fehler gibt kann ich mich ja auch tod suchen :)
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