Eigenwerte im eukl. VR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, daß die Eigenwerte der darstellenden Matrix des Skalarprodukts
eines Euklidischen Vektorraums alle positiv sind. |
Hallo alle man. Habe irgendwie noch probleme mit dem lösen dieser Aufgabe.
Für Eigenwerte gilt ja, wenn man eine quadratische Matrix hat:
[mm] A*v=\lambda*v
[/mm]
Des Weiteren berechnet man die Eigenwerte ja durch die Nullstellen des zugehörigen char. Polynoms, also:
P(x)=det(A-x*E)
So und ein Skalarprodukt muss ja folgende Bedingungen in [mm] \IR [/mm] erfüllen:
s1) s ist bilinear
s2) s ist symmetrisch
s3) s ist positiv
ein euklidischer VR ist ja ein [mm] \IR-VR [/mm] zusammen mit einem Skalarprodukt.
ich hatte mir das so ein bisschen gedacht. sei [mm] v\not=0 [/mm] ein EV zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Dann gilt:
<v, f(v)> = <f(v), v> = <λv, v> = λ<v, v>
so und wie ich oben gesagt habe, dass Skalarprodukt ist positiv def. und weiter können Eigenvektoren nicht 0 sein. aber ich finde, dass sagt noch nicht ganz, das λ<v, v> [mm] \ge [/mm] 0 sein muss. wie könnte man das fortsetzen?
kann mir vielleicht jemand dabei helfen?
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Edit: Irgendwie war ich wohl doch blind... 
Hallo,
> Zeigen Sie, daß die Eigenwerte der darstellenden Matrix des
> Skalarprodukts
> eines Euklidischen Vektorraums alle positiv sind.
> Hallo alle man. Habe irgendwie noch probleme mit dem lösen
> dieser Aufgabe.
>
> Für Eigenwerte gilt ja, wenn man eine quadratische Matrix
> hat:
>
> [mm]A*v=\lambda*v[/mm]
>
> Des Weiteren berechnet man die Eigenwerte ja durch die
> Nullstellen des zugehörigen char. Polynoms, also:
>
> P(x)=det(A-x*E)
>
> So und ein Skalarprodukt muss ja folgende Bedingungen in
> [mm]\IR[/mm] erfüllen:
>
> s1) s ist bilinear
> s2) s ist symmetrisch
> s3) s ist positiv
>
> ein euklidischer VR ist ja ein [mm]\IR-VR[/mm] zusammen mit einem
> Skalarprodukt.
>
> ich hatte mir das so ein bisschen gedacht. sei [mm]v\not=0[/mm] ein
> EV zum Eigenwert [mm]\lambda.[/mm] Dann gilt:
>
> <v, f(v)> = <f(v), v> = <λv, v> = λ<v, v>
>
> so und wie ich oben gesagt habe, dass Skalarprodukt ist
> positiv def. und weiter können Eigenvektoren nicht 0 sein.
> aber ich finde, dass sagt noch nicht ganz, das λ<v, v>
> [mm]\ge[/mm] 0 sein muss. wie könnte man das fortsetzen?
>
> kann mir vielleicht jemand dabei helfen?
stehe ich gerade auf dem Schlauch oder bin ich blind? Ich sehe gerade an keiner Stelle, dass Du irgendwo einbaust, dass $A$ die darstellende Matrix des Skalarprodukts eines Euklidischen Vektorraums sein soll. Und allgemein kann man die obige Aussage ja nicht zeigen, da die Eigenwerte einer beliebigen quadratischen Matrix ja nicht notwendig positiv sein müssen (es gibt ja positiv/negativ (semi-)definite Matrizen, indefinite Matrizen...)...
P.S.:
Was ist denn bei Dir $f(v)$? $f(v)=A*v$?
Gruß,
Marcel
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hi. ja also als matrix hatte ich mir eigentlich das f(v) gedacht, hast aber recht, ist falsch ausgedrückt. also:
sei A eine quad. Matrix mit Skalarpr. s und [mm] v\not=0 [/mm] ein EV zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Dann gilt:
<v, Av> = <Av, v> = <λv, v> = λ<v, v> , so weiß aber trotzdem irgendwie nicht weiter.
und wenn man es allgemein nicht zeigen kann, wie sonst?
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Edit: War wohl Quatsch meinerseits
Hallo,
> und wenn man es allgemein nicht zeigen kann, wie sonst?
ich habe nicht behauptet, dass sich die Aussage allgemein nicht zeigen lasse. Nur:
Da steht nicht:
Sei $A$ die darstellende Matrix des Skalarprodukts eines (mit einem Skalarprodukt versehenen Vektorraums) Prähilbertraums... (einen Vektorraum mit Skalarprodukt nennt man auch Prä-Hilbert-Raum)...
Sondern:
Da steht, dass $A$ die darstellende Matrix des Skalarproduktes eines euklidischen Vektorraums sein soll.
Und ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt ist "spezieller" als ein Prähilbertraum, daher denke ich, dass Du da ein wenig nachgucken solltest, was die darstellende Matrix des Skalarproduktes eines euklidischen Vektorraums für Eigenschaften hat. (Wie sieht sie allgemein aus? usw.)...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
oh sorry, mir ist gerade bei Deiner Aufgabenstellung aufgefallen, dass ihr den Begriff des euklidischen Vektorraums wohl doch allgemeiner definiert habt, als ich dachte. War mein Fehler! Dann werde ich nochmal drüber nachdenken, wie man Deine Gedanken vll. zu Ende führen könnte...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi. ja also als matrix hatte ich mir eigentlich das f(v)
> gedacht, hast aber recht, ist falsch ausgedrückt. also:
>
> sei A eine quad. Matrix mit Skalarpr. s und [mm]v\not=0[/mm] ein EV
> zum Eigenwert [mm]\lambda.[/mm] Dann gilt:
>
> <v, Av> = <Av, v> = <λv, v> = λ<v, v> , so weiß
> aber trotzdem irgendwie nicht weiter.
ich hoffe, ich benutze hier nichts, was Dir nicht geläufig ist, andernfalls drehen wir uns ggf. im Kreis.
Wenn $A$ die darstellende Matrix bzgl. des Skalarproduktes $s$ ist, so ist $s$ und damit auch $A$ insbesondere positiv definit. Weil $A$ positiv definit ist, gilt oben insbesondere für den Eigenvektor $v [mm] \not=0$:
[/mm]
[mm] $v^T [/mm] A v > 0$
Mit [mm] $v^T [/mm] A v=<v,Av>$ und Deiner Gleichungskette folgt wegen $<v,v> > 0$ dann auch [mm] $\lambda [/mm] > 0$.
Leider bin ich mir nicht sicher, ob Du den Beweis so führen darfst, da ich hier evtl. etwas benutzen könnte, was Du ja erst zeigen sollst. Da musst Du selbst nochmal nachgucken...
Gruß,
Marcel
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Hi nochmal. weiß nicht genau, was du hiermit meinst:
> Leider bin ich mir nicht sicher, ob Du den Beweis so führen darfst, da ich hier > evtl. etwas benutzen könnte, was Du ja erst zeigen sollst. Da musst Du > selbst nochmal nachgucken...
denn die sachen, die du bis jetzt benutzt hast, die haben wir auch gehabt. aber meinst du, das reicht so aus? deine gedanken sind ja ähnlich wie meine, nur dass du es viel präzieser und besser ausgedrückt hast.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi nochmal. weiß nicht genau, was du hiermit meinst:
>
> > Leider bin ich mir nicht sicher, ob Du den Beweis so führen
> darfst, da ich hier > evtl. etwas benutzen könnte, was Du
> ja erst zeigen sollst. Da musst Du > selbst nochmal
> nachgucken...
>
> denn die sachen, die du bis jetzt benutzt hast, die haben
> wir auch gehabt.
nur leider weiß ich das ja nicht. Man kann das ja auch anders aufbauen, indem man über die Eigenwerte überhaupt mal zeigt, dass die Matrix des Skalarproduktes eines euklidischen Vektorraums positiv definit ist. Anhand der Eigenwerte kann man ja auch die positiv Definitheit ablesen. Und ich kenne den Aufbau Eurer Vorlesung ja leider nicht.
(Man könnte Begriffe wie den der positiven Definitheit (natürlich in äquivalenter Form) über Eigenwerte definieren usw., das wäre ein anderer möglicher Vorlesungsaufbau...)
> aber meinst du, das reicht so aus? deine
> gedanken sind ja ähnlich wie meine, nur dass du es viel
> präzieser und besser ausgedrückt hast.
Wenn Du das alles so benutzen darfst, dann reicht das. Ich habe da nichts großartig ergänzt, nur zum einen, dass:
$<v,Av>=v^TAv$ gilt
und zum anderen das, was Dir fehlte, nämlich, dass daher [mm] $=v^T [/mm] A v > 0$ gilt. Die eigentliche Arbeit liegt bei Dir, indem Du dann zeigst:
[mm] $=\lambda$
[/mm]
Und weil damit dann [mm] $\lambda [/mm] <v,v> > 0$ folgt und $<v,v> > 0$ klar ist, muss [mm] $\lambda [/mm] > 0$ gelten.
Sagen wir, ich habe Dir die fehlenden 25% zur Lösung der Aufgabe damit geliefert
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Fr 25.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
Ok, dann besten dank für deine Korrektur bzw. Ergänzung um 25% 
Gruß
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