Eigenwerte der Verkettung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:57 Do 24.01.2013 | | Autor: | rolo4 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie : Sei a Eigenwert von linearer Abbildung F und b Eigenwert von linearer Abbildung G. Ist dann a*b ein Eigenwert von F [mm] \circ [/mm] G? |
Morgen:)
Gilt diese Aussage überhaupt für alle Eigenwerte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie : Sei a Eigenwert von linearer Abbildung F und b
> Eigenwert von linearer Abbildung G. Ist dann a*b ein
> Eigenwert von F [mm]\circ[/mm] G?
> Morgen:)
>
> Gilt diese Aussage überhaupt für alle Eigenwerte?
Nein.
Betrachte die linearen abbildungen F und G , die durch folgende Matrizen gegeben sind:
[mm] F=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und [mm] G=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 }
[/mm]
Berechne mal FG. Dann siehst Du: 1 ist ein EW von F, 3 ist ein EW von G, aber 1*3=3 ist kein Eigenwert von FG.
Man kann aber zeigen: ist FG=GF, so gilt:
ist [mm] \mu [/mm] ein EW von FG, so ex. ein EW [mm] \lambda_1 [/mm] von F und ein EW [mm] \lambda_2 [/mm] von G mit: [mm] \mu=\lambda_1* \lambda_2.
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:30 Do 24.01.2013 | | Autor: | rolo4 |
Danke für deine Hilfe, das macht das ganze deutlicher
Wenn jetzt aber beide lineare Abbildungen F und G so gewählt werden , dass Sie diagonalisierbar sind, dann muss doch [mm] F\circ [/mm] G nicht immer Eigenwerte besitzen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 26.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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