Eigenwerte der Ableitung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Do 02.04.2009 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Sei V = R[X] und phi = d/dX ein Endomorphismus in V.
Bestimme alle Eigenwerte von phi. |
Bisher kenne ich zur Berechnung von Eigenwerten nur das Verfahren mit Matrizen. In diesem Fall kann ich mir keine Matrix vorstellen, welche die Abblidung phi beschreibt.
Kann mir evtl. die Definition eines Eigenwertes weiterhelfen? Es muss ja gelten für ein Polynom P(X): phi( P(X) ) = k P(X)
Hierbei ist k eine reelle Zahl. Kann diese so überhaupt existieren?
Viele Grüße,
Phorkyas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei V ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] und [mm] \Phi [/mm] :V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung
[mm] \lambda \in \IR [/mm] heißt ein Eigenwert von [mm] \Phi [/mm] : [mm] \gdw [/mm] es ex. ein $x [mm] \in [/mm] V$ mit:
$x [mm] \not= [/mm] 0$ und [mm] $\Phi(x) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] x$.
In diesem Fall heißt x ein Eigenvektor zu [mm] \lambda
[/mm]
Zu Deiner Aufgabe. Die lin. Abb [mm] \Phi [/mm] ist definiert durch
[mm] $\Phi(p) [/mm] = p'$
Betrachte mal die Gleichung
[mm] $\Phi(p) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] p$, also $p' = [mm] \lambda [/mm] p$
mit einem Polynom $p$, welches nicht das Nullpolynom ist. Sei grad(p) = n.
Annahme: [mm] \lambda \not= [/mm] 0. Dann steht in der Gl.
$p' = [mm] \lambda [/mm] p$
links ein Polynom vom Grad n-1 und rechts ein Polynom vom Grad n, Widerspruch !
Also ist [mm] $\lambda [/mm] = 0$.
Somit ist 0 der einzige Eigenwert von [mm] \Phi [/mm] und jedes konstante Polynom [mm] \not= [/mm] Nullpolynom ist ein zugeh. Eigenvektor
FRED
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