Eigenwerte bzw. Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Domber |
Nabend zusammen,
irgendwie verzweifel ich gerade wieder:
Berechne alle Eigenvektoren, Eigenwerte und alle Potenzen [mm] A^n [/mm] (n Elemten N)
[mm] \pmat{2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 3}
[/mm]
Mein Ansatz:
Ich mach erstmal Gauss und versuche die Matrix auf ne Dreiecksmatrix zu bringen. Dann kann ich die Regel anwenden "Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind identisch mit den Hauptdiagonalelementen".
[mm] \pmat{2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Das müsste doch soweit stimmen oder?
Dann sind ja folglich die Eigenwerte 0, 2, 3 und 0 is dabei doppelter Eigenwert.
Das stimmt aber laut meiner Lösung nicht. Die sagt, dass 0, 2, 4 Eigenwerte sind und 4 doppelter.
Kann jemand helfen? Vielen dank ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Nam |
Hallo Domber,
ne, also ich wüsste nicht, dass das stimmt.
Um die Eigenwerte zu errechnen, bestimmt man die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms der Matrix. Das Charakteristische Polynom von A ist wie folgt definiert:
[mm]cp_{A}(x) := \det(A - x*E_n)[/mm], wobei [mm]E_n[/mm] die Einheitsmatrix ist.
Also musst du die Determinante der Matrix
[mm]\pmat{2-x & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3-x & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 2-x & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 3-x}[/mm] ausrechnen.
Die lautet (laut Mupad): [mm]x^4-10x^3+32x^2-32x[/mm].
Offensichtlich ist 0 eine Nullstelle dieses Polynoms.
Polynomdivision mit x ergibt [mm]x^3-10x^2+32x^2-32[/mm]. Jetzt am besten Nullstellen raten: 2 ist eine Nullstelle. Also macht man eine Polynomdivision durch [mm]x-2[/mm]. Heraus kommt:
[mm]x^2-8x+16[/mm]. Die PQ Formel liefert die (doppelte) Nullstelle 4.
Also hast du insgesamt die Nullstellen 0,2 und 4 (doppelt).
Dies sind auch die Eigenwerte von A.
Für die Eigenvektoren musst du jeweils den Kern der Matrix [mm]A-0*E_n[/mm], [mm]A-2*E_n[/mm] und [mm]A-4*E_n[/mm] ausrechnen (Gauss Algorithmus). Dann erhälst du die Eigenvektoren zu den Eigenwerten 0, 2 bzw 4.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 So 10.07.2005 | | Autor: | Domber |
Hallo Nam,
vielen Dank für Deine rasche Antwort. Ich hab es nach Deinem Schema probiert und es hat funktioniert. Das einzig schwierige bei der Sache ist die Entwicklung der Determinante, da es sich um eine (4,4) Matrix handelt.
Die oberste Zeile hat aber 2 Nullen und dann noch Sarrus-Regel und die Sache läuft relativ flott.
Ich bin dennoch ein bisschen verwirrt da die Regel die ich nannte im Papula steht (Band 2). Wahrscheinlich bringe ich wieder irgendwas durcheinander.
Thx anyway.
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